Dada la siguiente función de costo C(x) = 4000 + x2 , y relación de demanda,  p = 200 − x. 
Determine el ingreso marginal, costo marginal y utilidad marginal


Para resolver el problema, primero necesitamos calcular el ingreso, el costo marginal y la utilidad marginal a partir de las funciones proporcionadas.

**Datos proporcionados:**
- Función de costo: \( C(x) = 4000 + x^2 \)
- Función de demanda (relación de precio): \( p = 200 - x \)

### 1. **Ingreso Total**
El **ingreso total** (\( I(x) \)) se calcula como el precio multiplicado por la cantidad vendida. Dado que \( p = 200 - x \), el ingreso total es:

\[
I(x) = p \cdot x = (200 - x) \cdot x = 200x - x^2
\]

### 2. **Ingreso Marginal**
El **ingreso marginal** es la derivada del ingreso total con respecto a \( x \):

\[
I'(x) = \frac{d}{dx}(200x - x^2) = 200 - 2x
\]

### 3. **Costo Marginal**
El **costo marginal** es la derivada de la función de costo con respecto a \( x \):

\[
C'(x) = \frac{d}{dx}(4000 + x^2) = 2x
\]

### 4. **Utilidad Total**
La **utilidad total** es la diferencia entre el ingreso total y el costo total:

\[
U(x) = I(x) - C(x) = (200x - x^2) - (4000 + x^2)
\]
\[
U(x) = 200x - x^2 - 4000 - x^2 = 200x - 2x^2 - 4000
\]

### 5. **Utilidad Marginal**
La **utilidad marginal** es la derivada de la utilidad total con respecto a \( x \):

\[
U'(x) = \frac{d}{dx}(200x - 2x^2 - 4000) = 200 - 4x
\]

### Resumen de resultados:

- **Ingreso Marginal:** \( I'(x) = 200 - 2x \)
- **Costo Marginal:** \( C'(x) = 2x \)
- **Utilidad Marginal:** \( U'(x) = 200 - 4x \)

---

¿Te gustaría que te explique algún detalle adicional de estos cálculos?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se puede maximizar la utilidad utilizando el ingreso y el costo marginal?
2. ¿Qué sucede si el ingreso marginal es menor que el costo marginal?
3. ¿Cómo se interpretan estos resultados en el contexto de un equilibrio económico?
4. ¿Cómo cambia la utilidad si se aumenta la cantidad producida?
5. ¿Qué significaría un ingreso marginal negativo?

**Tip:** En problemas de maximización, las condiciones de primer orden implican que para maximizar la utilidad, el ingreso marginal debe ser igual al costo marginal.

Dada la siguiente función de costo C(x) = 4000 + x^2 , y relación de demanda, p = 200 − x. Determine el ingreso marginal, costo marginal y utilidad marginal

Learn how to calculate marginal revenue, marginal cost, and marginal profit from a given cost function C(x) = 4000 + x^2 and a demand function p = 200 - x. This problem involves key economic and calculus concepts, including cost functions, demand relations, and marginal analysis, suitable for undergraduate students.

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