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El problema nos habla de un triángulo \(ABC\), donde en el lado \(AC\) se ubica un punto \(D\) tal que los triángulos \(ABD\) y \(DBC\) tienen perímetros iguales a \(4 \cdot BD\). Además, la suma de los inradios de estos dos triángulos es igual a \(4 \, u\), y se nos pide encontrar la longitud del inradio del triángulo \(ABC\).

Para resolver este problema, vamos a utilizar la siguiente propiedad clave de los triángulos:

1. **Fórmula del inradio de un triángulo**: El inradio \(r\) de un triángulo está dado por:
   \[
   r = \frac{A}{s}
   \]
   donde \(A\) es el área del triángulo y \(s\) es el semiperímetro.

### Pasos:
1. Sabemos que los triángulos \(ABD\) y \(DBC\) tienen perímetros iguales a \(4 \cdot BD\), por lo que sus semiperímetros también son iguales.
   
2. Además, sabemos que la suma de los inradios de \(ABD\) y \(DBC\) es \(4 \, u\). Llamemos \(r_1\) al inradio de \(ABD\) y \(r_2\) al inradio de \(DBC\). Entonces:
   \[
   r_1 + r_2 = 4 \, u
   \]

3. Queremos encontrar el inradio del triángulo \(ABC\). Llamémoslo \(r_{ABC}\).

4. Utilizaremos la propiedad de que los inradios de triángulos formados por subdivisiones dentro de un triángulo más grande se pueden relacionar de manera aditiva. Es decir:
   \[
   r_{ABC} = r_1 + r_2
   \]
   Entonces:
   \[
   r_{ABC} = 4 \, u
   \]

Por lo tanto, la respuesta correcta es **B) 4**.

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¿Te gustaría más detalles sobre algún paso? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se relaciona el inradio de un triángulo con su área y semiperímetro?
2. ¿Qué otras formas existen para calcular el área de un triángulo si conocemos sus lados?
3. ¿Cómo se define el semiperímetro de un triángulo?
4. ¿Cómo se utilizan las propiedades de los triángulos en geometría analítica?
5. ¿Qué otras propiedades geométricas aplican cuando un punto divide un triángulo en dos?

**Tip**: El inradio de un triángulo es una medida útil que relaciona la geometría interna del triángulo con sus lados y área.

En un triángulo ABC, en el lado AC se ubica el punto D, tal que los triángulos ABD y DBC tienen perímetros iguales a 4(BD). Si la suma de las longitudes de los inradios de los triángulos ABD y DBC es igual 4 u, entonces la longitud (en u) del inradio del triángulo ABC es:

Solve a geometry problem involving a triangle ABC subdivided into ABD and DBC with equal perimeters and known inradii. This problem covers the calculation of the inradius using the inradius formula and triangle properties. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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