 Encuentra sus raíces o ceros, dominio, rango y por último realiza su grafica la función.
�(�) = �( − 13x! + 36 �(�) = �( − 34x! + 225 �(�) = �( − 61x! + 900 �(�) = �( − 17x! + 16
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Voy a ayudarte paso a paso con las funciones que proporcionaste. Como cada función parece estar incompleta o mal escrita, intentaré interpretar cada una de ellas y resolverlas como si fueran funciones cuadráticas estándar en la forma:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

Este formato es el de una parábola, que tiene raíces o ceros (puntos donde \( f(x) = 0 \)), además de un dominio y rango específico. Si las ecuaciones contienen algún error tipográfico, corrígeme, y las ajustaremos.

### 1. Función 1: \( f(x) = x^2 - 13x + 36 \)

- **Raíces o ceros**:
   Para encontrar las raíces, usamos la fórmula cuadrática:
   \[
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   \]
   Donde \( a = 1 \), \( b = -13 \), y \( c = 36 \).
   Calcularemos esto en un momento.

- **Dominio**:
   El dominio de una función cuadrática es \( \mathbb{R} \), es decir, todos los números reales, ya que los polinomios están definidos en todo \( x \).

- **Rango**:
   El rango de una función cuadrática depende de su vértice. El valor mínimo o máximo se encuentra en el vértice, que se calcula con:
   \[
   x_v = \frac{-b}{2a}
   \]
   El valor de \( f(x_v) \) nos da el valor máximo o mínimo, según el signo de \( a \).

- **Gráfica**:
   La gráfica será una parábola que abre hacia arriba, ya que \( a = 1 > 0 \).

---

### 2. Función 2: \( f(x) = x^2 - 34x + 225 \)

Aplicaremos los mismos pasos que en la función anterior. \( a = 1 \), \( b = -34 \), y \( c = 225 \).

---

### 3. Función 3: \( f(x) = x^2 - 61x + 900 \)

Igual que antes, \( a = 1 \), \( b = -61 \), y \( c = 900 \).

---

### 4. Función 4: \( f(x) = x^2 - 17x + 16 \)

Igual que antes, \( a = 1 \), \( b = -17 \), y \( c = 16 \).

---

### 5. Función 5: \( f(x) = x^2 - 25x + 144 \)

Igual que antes, \( a = 1 \), \( b = -25 \), y \( c = 144 \).

---

### 6. Función 6: \( f(x) = x^2 - 85x + 1764 \)

Aquí tenemos \( a = 1 \), \( b = -85 \), y \( c = 1764 \).

---

### 7. Función 7: \( f(x) = -x^2 - 5x + 36 \)

Esta función tiene un coeficiente \( a = -1 \), lo que significa que la parábola abre hacia abajo.

---

### 8. Función 8: \( f(x) = 3x^2 - 10x - 8 \)

Esta es una parábola con \( a = 3 \), lo que significa que abre hacia arriba y es más estrecha.

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Voy a proceder a calcular las raíces y el vértice para todas estas funciones para darte resultados concretos.Aquí están los resultados para cada función cuadrática:

### 1. Función \( f(x) = x^2 - 13x + 36 \):
- **Raíces o ceros**: \( x_1 = 9 \), \( x_2 = 4 \)
- **Vértice**: \( (6.5, -6.25) \)
- **Dominio**: \( \mathbb{R} \)
- **Rango**: \( [-6.25, \infty) \)

### 2. Función \( f(x) = x^2 - 34x + 225 \):
- **Raíces o ceros**: \( x_1 = 25 \), \( x_2 = 9 \)
- **Vértice**: \( (17, -64) \)
- **Dominio**: \( \mathbb{R} \)
- **Rango**: \( [-64, \infty) \)

### 3. Función \( f(x) = x^2 - 61x + 900 \):
- **Raíces o ceros**: \( x_1 = 36 \), \( x_2 = 25 \)
- **Vértice**: \( (30.5, -30.25) \)
- **Dominio**: \( \mathbb{R} \)
- **Rango**: \( [-30.25, \infty) \)

### 4. Función \( f(x) = x^2 - 17x + 16 \):
- **Raíces o ceros**: \( x_1 = 16 \), \( x_2 = 1 \)
- **Vértice**: \( (8.5, -56.25) \)
- **Dominio**: \( \mathbb{R} \)
- **Rango**: \( [-56.25, \infty) \)

### 5. Función \( f(x) = x^2 - 25x + 144 \):
- **Raíces o ceros**: \( x_1 = 16 \), \( x_2 = 9 \)
- **Vértice**: \( (12.5, -12.25) \)
- **Dominio**: \( \mathbb{R} \)
- **Rango**: \( [-12.25, \infty) \)

### 6. Función \( f(x) = x^2 - 85x + 1764 \):
- **Raíces o ceros**: \( x_1 = 49 \), \( x_2 = 36 \)
- **Vértice**: \( (42.5, -42.25) \)
- **Dominio**: \( \mathbb{R} \)
- **Rango**: \( [-42.25, \infty) \)

### 7. Función \( f(x) = -x^2 - 5x + 36 \):
- **Raíces o ceros**: \( x_1 = -9 \), \( x_2 = 4 \)
- **Vértice**: \( (-2.5, 42.25) \)
- **Dominio**: \( \mathbb{R} \)
- **Rango**: \( (-\infty, 42.25] \) (porque abre hacia abajo)

### 8. Función \( f(x) = 3x^2 - 10x - 8 \):
- **Raíces o ceros**: \( x_1 = 4 \), \( x_2 = -0.67 \)
- **Vértice**: \( (1.67, -16.33) \)
- **Dominio**: \( \mathbb{R} \)
- **Rango**: \( [-16.33, \infty) \)

---

¿Te gustaría que dibujara las gráficas de estas funciones o necesitas más detalles sobre alguna en particular?

Aquí hay algunas preguntas para expandir tu comprensión:
1. ¿Qué significa el vértice de una parábola en un contexto geométrico?
2. ¿Cómo influye el coeficiente \( a \) en la forma de la parábola?
3. ¿Cómo puedes encontrar el punto de intersección de dos parábolas?
4. ¿Qué ocurre si el discriminante de una función cuadrática es negativo?
5. ¿Cómo calcularías la tangente en un punto específico de la parábola?

**Tip**: El discriminante (\( b^2 - 4ac \)) te dice cuántas y qué tipo de raíces tiene una función cuadrática (reales o complejas).

Encuentra sus raíces o ceros, dominio, rango y por último realiza su grafica la función.
�(�) = �( − 13x! + 36 �(�) = �( − 34x! + 225 �(�) = �( − 61x! + 900 �(�) = �( − 17x! + 16
�(�) = �( − 25x! + 144 �(�) = �( − 85x! + 1764 �(�) = −�( − 5x! + 36 �(�) = 3�( − 10x! − 8

Solve quadratic equations like f(x) = x^2 - 13x + 36 and f(x) = x^2 - 34x + 225. Learn how to find roots, domain, and range for these functions using the quadratic formula. Suitable for students in Grades 9-12.

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