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Vamos a resolver el problema.

Dado que \(\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^3\), tenemos lo siguiente:

- \(\|\vec{u}\| = 4\)
- El ángulo entre \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) es \(\frac{\pi}{3}\)
- \(\vec{u}\) es ortogonal a \(\vec{u} - \vec{v}\), es decir, \(\vec{u} \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = 0\)

Queremos hallar \(\|\vec{v}\|\).

### Paso 1: Expresión de la condición de ortogonalidad
Dado que \(\vec{u} \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = 0\), expandimos este producto:

\[
\vec{u} \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u} \cdot \vec{u} - \vec{u} \cdot \vec{v} = 0
\]

Sabemos que \(\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2 = 16\). Entonces, la ecuación se convierte en:

\[
16 - \vec{u} \cdot \vec{v} = 0
\]

Por lo tanto,

\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = 16
\]

### Paso 2: Uso de la fórmula del producto punto
Sabemos que el producto punto también se puede expresar en términos del ángulo entre los vectores:

\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)
\]

Dado que \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\) y \(\|\vec{u}\| = 4\), sustituimos en la ecuación:

\[
16 = 4 \|\vec{v}\| \cdot \frac{1}{2}
\]

\[
16 = 2 \|\vec{v}\|
\]

### Paso 3: Solución para \(\|\vec{v}\|\)

Despejamos \(\|\vec{v}\|\):

\[
\|\vec{v}\| = \frac{16}{2} = 8
\]

### Respuesta:
La norma de \(\vec{v}\) es \(\|\vec{v}\| = 8\).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para profundizar:

1. ¿Cómo se deriva la fórmula del producto punto en términos del ángulo?
2. ¿Qué significa que dos vectores sean ortogonales?
3. ¿Cómo afecta el ángulo entre dos vectores a su producto punto?
4. ¿Cómo se puede generalizar este tipo de problemas para dimensiones mayores?
5. ¿Qué otras aplicaciones prácticas tiene el concepto de ortogonalidad en geometría y álgebra lineal?

**Tip**: Cuando trabajes con ángulos entre vectores, recuerda siempre las relaciones trigonométricas, como el valor del coseno para ángulos conocidos.

Sean \(\vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^3\) tal que \(\|\vec{u}\| = 4\) y el ángulo entre \(\vec{u}\) y \(\vec{v}\) es \(\frac{\pi}{3}\). Si \(\vec{u}\) es ortogonal a \(\vec{u} - \vec{v}\), hallar \(\|\vec{v}\|\).

Learn how to solve a vector problem in \(\mathbb{R}^3\) involving orthogonality and dot product. We are given that \(\|\vec{u}\| = 4\), the angle between \(\vec{u}\) and \(\vec{v}\) is \(\frac{\pi}{3}\), and we need to find \(\|\vec{v}\|\) using the condition of orthogonality.

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