Hallar los ángulos que forman las curvas dadas en los puntos de intersección:
y^2-x-1; x^2+y^2=13 


Para hallar los ángulos que forman las curvas dadas por \( y^2 - x - 1 = 0 \) y \( x^2 + y^2 = 13 \) en sus puntos de intersección, seguimos estos pasos:

### 1. Encontrar los puntos de intersección
Primero, necesitamos encontrar los puntos donde ambas curvas se intersectan. Para ello, resolvemos el sistema de ecuaciones formado por:

\[
y^2 - x - 1 = 0 \quad \text{(Ecuación 1)}
\]
\[
x^2 + y^2 = 13 \quad \text{(Ecuación 2)}
\]

Despejamos \( x \) de la Ecuación 1:
\[
x = y^2 - 1
\]

Sustituimos esta expresión en la Ecuación 2:
\[
(y^2 - 1)^2 + y^2 = 13
\]
\[
y^4 - 2y^2 + 1 + y^2 = 13
\]
\[
y^4 - y^2 - 12 = 0
\]

Esta es una ecuación cuadrática en términos de \( z = y^2 \):
\[
z^2 - z - 12 = 0
\]

Resolvemos esta ecuación cuadrática:
\[
z = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2}
\]
\[
z_1 = 4 \quad \text{y} \quad z_2 = -3 \quad (\text{rechazamos \( z_2 \) porque \( y^2 \geq 0 \)})
\]

Así que \( y^2 = 4 \), entonces \( y = \pm 2 \).

Para encontrar \( x \), utilizamos \( x = y^2 - 1 \):
\[
x = 4 - 1 = 3
\]

Por lo tanto, los puntos de intersección son \( (3, 2) \) y \( (3, -2) \).

### 2. Derivar las funciones
Para hallar los ángulos, necesitamos las pendientes de las tangentes en los puntos de intersección. Derivamos implícitamente ambas ecuaciones con respecto a \( x \):

- Para \( y^2 - x - 1 = 0 \):
  \[
  2y \frac{dy}{dx} - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}
  \]

- Para \( x^2 + y^2 = 13 \):
  \[
  2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
  \]

### 3. Calcular el ángulo entre las curvas
El ángulo \( \theta \) entre las tangentes se calcula usando:

\[
\tan(\theta) = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|
\]

Donde \( m_1 \) y \( m_2 \) son las pendientes de las tangentes en los puntos de intersección.

### 4. Evaluar en los puntos de intersección

Para el punto \( (3, 2) \):

- Para la primera curva, \( m_1 = \frac{1}{2(2)} = \frac{1}{4} \).
- Para la segunda curva, \( m_2 = -\frac{3}{2} \).

El ángulo \( \theta \) se calcula como:

\[
\tan(\theta) = \left|\frac{\frac{1}{4} + \frac{3}{2}}{1 - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2}}\right|
\]
\[
\tan(\theta) = \left|\frac{\frac{1}{4} + \frac{6}{4}}{1 - \frac{3}{8}}\right| = \left|\frac{\frac{7}{4}}{\frac{5}{8}}\right| = \left|\frac{7 \times 8}{4 \times 5}\right| = \frac{14}{5} = 2.8
\]

Por lo tanto, \( \theta = \arctan(2.8) \).

El mismo procedimiento se aplica para el punto \( (3, -2) \), pero con signos cambiados en \( y \).

Finalmente, calculamos el ángulo \( \theta \) utilizando la función inversa de la tangente para obtener el valor en grados o radianes.

¿Te gustaría que realice los cálculos finales para obtener los ángulos exactos?

---

1. ¿Cómo se determina un punto de intersección entre dos curvas?
2. ¿Qué significa derivar implícitamente una función?
3. ¿Qué representa la pendiente de una tangente en un punto?
4. ¿Cómo se interpreta geométricamente el ángulo entre dos curvas?
5. ¿Cómo afectan los signos de las pendientes al cálculo del ángulo?
6. ¿Qué pasos se deben seguir para resolver una ecuación cuadrática?
7. ¿Cómo se relacionan las derivadas y los ángulos en la geometría analítica?
8. ¿Qué aplicaciones tiene el cálculo del ángulo entre dos curvas en la práctica?

**Tip:** Para resolver sistemas de ecuaciones, es útil manipular una de las ecuaciones para sustituirla en la otra, simplificando el proceso de solución.

Explore how to find angles formed by the intersection of curves y^2 - x - 1 = 0 and x^2 + y^2 = 13. Detailed step-by-step solution using implicit differentiation and trigonometric principles. Suitable for university-level mathematics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation