Determine c
 de modo que o limite limx→73(x−3)(−c+x+3)3x−7−1
 exista. Para esse valor de c
 calcule esse limite. O valor do limite anterior será:

Vamos analisar o limite:

\[
\lim_{x \to 7} \frac{(x - 3)(-c + x + 3)}{3x - 7 - 1}
\]

### Passo 1: Simplificar a expressão no denominador

O denominador \( 3x - 7 - 1 \) pode ser reescrito como:

\[
3x - 7 - 1 = 3x - 8
\]

Logo, a expressão completa do limite é:

\[
\lim_{x \to 7} \frac{(x - 3)(-c + x + 3)}{3x - 8}
\]

### Passo 2: Substituir \(x = 7\) na expressão

Agora, vamos substituir \(x = 7\) para ver se o limite existe diretamente:

\[
\frac{(7 - 3)((-c + 7 + 3))}{3(7) - 8} = \frac{(4)(-c + 10)}{21 - 8} = \frac{4(-c + 10)}{13}
\]

Para que o limite exista, a expressão \( \frac{4(-c + 10)}{13} \) precisa ser bem definida. Neste caso, não há nenhuma indeterminação ou problema de divisão por zero, então o limite existe para qualquer valor de \(c\).

### Passo 3: Determinar o valor de \(c\)

Vamos agora calcular o valor do limite para algum valor específico de \(c\). A expressão obtida foi:

\[
\frac{4(-c + 10)}{13}
\]

Agora, é possível simplificar isso para diferentes valores de \(c\). 

Se assumirmos \(c = 0\), temos:

\[
\frac{4(-0 + 10)}{13} = \frac{40}{13}
\]

### Conclusão:

Para \(c = 0\), o valor do limite será:

\[
\boxed{\frac{40}{13}}
\]

Se quiser detalhes adicionais ou tem alguma dúvida, posso ajudar! 

Aqui estão algumas perguntas relacionadas:
1. Como determinar limites indeterminados?
2. Como manipular expressões envolvendo limites?
3. O que é uma função contínua e como isso se relaciona com limites?
4. Como lidar com o cálculo de limites que envolvem polinômios?
5. Como o valor de \(c\) afeta o comportamento de uma função?

**Dica**: Sempre simplifique as expressões o máximo possível antes de tentar calcular o limite diretamente.

Determine c de modo que o limite lim(x→7) [(x−3)(−c+x+3)] / (3x−7−1) exista. Para esse valor de c, calcule esse limite. O valor do limite anterior será:

Solve the limit lim(x→7) [(x−3)(−c+x+3)] / (3x−7−1) by determining the value of c for which the limit exists. This problem covers key concepts in limits and algebra, and provides a detailed solution suitable for pre-calculus or calculus students in Grades 11-12.

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