函数f(x)=kx^2+(k-5)x-1在区间[-2，+∞)内是减函数，求k的取值范围

要判断函数 \( f(x) = kx^2 + (k-5)x - 1 \) 在区间 \([-2, +\infty)\) 上为减函数，首先需要找到其导数，并确定导数在该区间内的符号。

### 步骤 1：求导数
对函数 \( f(x) \) 求导数，得到：
\[
f'(x) = 2kx + (k-5)
\]
我们要求该导数在 \([-2, +\infty)\) 上恒小于或等于 0，才能保证 \( f(x) \) 是减函数。

### 步骤 2：研究导数的符号
由 \( f'(x) = 2kx + (k-5) \)，我们需要 \( f'(x) \leq 0 \) 对于 \( x \in [-2, +\infty) \) 恒成立。

#### 情况 1：若 \( k = 0 \)
当 \( k = 0 \) 时，导数变为：
\[
f'(x) = -5
\]
此时导数恒为负数，因此函数在整个区间 \([-2, +\infty)\) 上为减函数。即 \( k = 0 \) 是满足条件的。

#### 情况 2：若 \( k \neq 0 \)
则方程 \( f'(x) = 2kx + (k-5) \leq 0 \)，我们需要确定在 \( x \geq -2 \) 时的解。

首先考察临界点，令 \( f'(x) = 0 \)：
\[
2kx + (k-5) = 0
\]
解得：
\[
x = \frac{5-k}{2k}
\]

为了使 \( f'(x) \leq 0 \) 在 \( x \geq -2 \) 上成立，考虑以下两种情况：

1. \( k > 0 \)：导数为上升函数，要求 \( f'(-2) \leq 0 \)。
   \[
   f'(-2) = 2k(-2) + (k-5) = -4k + k - 5 = -3k - 5 \leq 0
   \]
   解得：
   \[
   k \geq -\frac{5}{3}
   \]
   因为 \( k > 0 \)，所以 \( k \geq 0 \) 是有效的。

2. \( k < 0 \)：导数为下降函数，要求导数的零点 \( x = \frac{5-k}{2k} \) 大于等于 -2，即：
   \[
   \frac{5-k}{2k} \geq -2
   \]
   解这个不等式：
   \[
   5-k \geq -4k
   \]
   \[
   5 \geq -3k
   \]
   \[
   k \geq -\frac{5}{3}
   \]
   因此 \( k \leq 0 \) 的时候，要求 \( k \geq -\frac{5}{3} \)。

### 步骤 3：总结
结合 \( k \geq -\frac{5}{3} \)，我们得出 \( k \) 的取值范围是：
\[
k \in [-\frac{5}{3}, 0]
\]

这个范围内的 \( k \) 值保证函数 \( f(x) \) 在区间 \([-2, +\infty)\) 上是减函数。

---

有任何问题想进一步了解吗？

### 相关问题：
1. 什么是函数的导数，如何判断函数的单调性？
2. 如果改变区间 \([-2, +\infty)\) 会如何影响 \( k \) 的取值范围？
3. 如果我们研究的是增函数，如何确定 \( k \) 的取值范围？
4. 当 \( k = -\frac{5}{3} \) 时，函数 \( f(x) \) 的图像有什么特殊之处？
5. 如何通过求二次导数判断函数的凹凸性？

### 提示：
**判断函数单调性时，关键在于导数的符号变化情况。**

Find the range of values for k that make the function f(x)=kx^2+(k-5)x-1 a decreasing function on the interval [-2, +∞). This problem involves concepts from calculus such as derivatives and monotonicity. Suitable for students in Grades 10-12.

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