Dos sólidos congruentes 𝑆1 y 𝑆2 tienen la propiedad de que 𝑆1 ∩ 𝑆2 es un prisma triangular rectángulo con altura√3 y una base que es un triángulo equilátero de longitud de lado 2. Si el volumen de 𝑆1 ∪ 𝑆2 es 25 unidades 3, encuentre el volumen de 𝑆1.

Para resolver este problema, seguimos los siguientes pasos:

1. **Calcular el volumen del prisma triangular** \( S_1 \cap S_2 \):

   - La base del prisma es un triángulo equilátero con longitud de lado \( 2 \). El área \( A \) de un triángulo equilátero se calcula como:
     \[
     A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \text{lado}^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 = \sqrt{3}
     \]
   - La altura del prisma es \( \sqrt{3} \).
   - El volumen del prisma es el área de la base multiplicada por la altura:
     \[
     V_{S_1 \cap S_2} = A \times \text{altura} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3
     \]

2. **Relación de volúmenes**:

   Dado que \( S_1 \) y \( S_2 \) son congruentes, sus volúmenes son iguales. Denotemos el volumen de \( S_1 \) (y también de \( S_2 \)) por \( V_{S_1} \).

   Sabemos que el volumen de la unión de los dos sólidos es:
   \[
   V_{S_1 \cup S_2} = V_{S_1} + V_{S_2} - V_{S_1 \cap S_2}
   \]
   Dado que \( S_1 \) y \( S_2 \) son congruentes, \( V_{S_1} = V_{S_2} \). Entonces:
   \[
   V_{S_1 \cup S_2} = 2V_{S_1} - V_{S_1 \cap S_2}
   \]
   Sabemos que \( V_{S_1 \cup S_2} = 25 \) y \( V_{S_1 \cap S_2} = 3 \). Sustituyendo en la ecuación:
   \[
   25 = 2V_{S_1} - 3
   \]
   Resolviendo para \( V_{S_1} \):
   \[
   2V_{S_1} = 25 + 3 = 28
   \]
   \[
   V_{S_1} = \frac{28}{2} = 14
   \]

Por lo tanto, el volumen de \( S_1 \) es \( \boxed{14} \) unidades cúbicas.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí hay cinco preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula el área de un triángulo equilátero?
2. ¿Qué otras propiedades tiene un prisma recto?
3. ¿Cómo se relaciona el volumen de intersección y unión de sólidos congruentes?
4. ¿Cuáles son las aplicaciones del cálculo de volúmenes en la vida real?
5. ¿Cómo afecta la congruencia de sólidos en la geometría tridimensional?

**Tip:** Siempre verifica la congruencia de los sólidos en problemas de geometría para simplificar el cálculo de volúmenes.

Learn how to calculate the volume of solids 𝑆1 and 𝑆2 with congruent properties. This problem involves determining the volume of a triangular prism formed by the intersection of congruent solids with specific dimensions and volumes. Explore step-by-step solutions and related mathematical concepts.

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