Considere as seguintes afirmações:

(I) A derivada da função 
𝑦
=
𝑓
(
𝑥
)
y=f(x), dada implicitamente pela equação

𝑥
2
4
+
𝑦
3
4
=
𝑎
4
  
x 
2
 
​
 + 
4
  
y 
3
 
​
 =a
é


𝑓
′
(
𝑥
)
=
−
2
4
𝑥
−
2
4
3
4
𝑦
1
4
f 
′
 (x)=− 
4
3
​
 y 
4
1
​
 
 
4
2
​
 x 
− 
4
2
​
 
 
​

​
 
(II) A derivada da função 
𝑥
=
𝑔
(
𝑦
)
x=g(y), dada implicitamente pela equação

𝑦
sin
⁡
(
1
𝑦
)
=
1
−
𝑥
4
𝑦
ysin( 
y
1
​
 )=1−x 
4
 y
é

𝑔
′
(
𝑦
)
=
−
4
𝑥
3
𝑦
sin
⁡
(
1
𝑦
)
−
1
𝑦
cos
⁡
(
1
𝑦
)
+
𝑥
4
g 
′
 (y)=− 
sin( 
y
1
​
 )− 
y
1
​
 cos( 
y
1
​
 )+x 
4
 
4x 
3
 y
​
 
Temos que:

Todas são verdadeiras.
Todas são falsas.
Somente a I é verdadeira.
Somente a II é verdadeira.
A alternativa correta corresponde ao item:

(a) (2)
(b) (1)
(c) (4)
(d) (3)


Vamos analisar as afirmações (I) e (II) para verificar se são verdadeiras ou falsas.

### Análise da Afirmação (I):

A função é dada implicitamente pela equação:

\[
\frac{x^2}{4} + \frac{y^3}{4} = a^4
\]

Para encontrar a derivada \(\frac{dy}{dx}\), diferenciamos ambos os lados da equação em relação a \(x\):

\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{4}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{y^3}{4}\right) = \frac{d}{dx}(a^4)
\]

Calculando as derivadas:

\[
\frac{1}{4} \cdot 2x + \frac{1}{4} \cdot 3y^2 \cdot \frac{dy}{dx} = 0
\]

\[
\frac{x}{2} + \frac{3y^2}{4} \cdot \frac{dy}{dx} = 0
\]

Isolando \(\frac{dy}{dx}\):

\[
\frac{3y^2}{4} \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}
\]

\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{3y^2}
\]

Agora, vamos comparar com a expressão fornecida:

\[
f'(x) = -\frac{2x^{-2/4}}{3 \cdot 4y^{1/4}}
\]

Claramente, a expressão fornecida não corresponde ao valor correto de \(\frac{dy}{dx}\). Portanto, **a afirmação (I) é falsa**.

### Análise da Afirmação (II):

A função \(x = g(y)\) é dada implicitamente pela equação:

\[
y \sin\left(\frac{1}{y}\right) = 1 - x^4
\]

Diferenciamos ambos os lados em relação a \(y\):

\[
\frac{d}{dy} \left(y \sin\left(\frac{1}{y}\right)\right) = \frac{d}{dy} (1 - x^4)
\]

Para o lado esquerdo, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:

\[
\sin\left(\frac{1}{y}\right) + y \cdot \cos\left(\frac{1}{y}\right) \cdot \left(-\frac{1}{y^2}\right) = -4x^3 \cdot \frac{dx}{dy}
\]

\[
\sin\left(\frac{1}{y}\right) - \frac{\cos\left(\frac{1}{y}\right)}{y} = -4x^3 \cdot \frac{dx}{dy}
\]

Isolando \(\frac{dx}{dy}\) ou \(\frac{1}{g'(y)}\):

\[
\frac{dx}{dy} = \frac{4x^3}{\sin\left(\frac{1}{y}\right) - \frac{\cos\left(\frac{1}{y}\right)}{y}}
\]

Invertendo para encontrar \(g'(y)\):

\[
g'(y) = \frac{\sin\left(\frac{1}{y}\right) - \frac{\cos\left(\frac{1}{y}\right)}{y}}{-4x^3}
\]

Esta expressão também não coincide exatamente com a expressão fornecida:

\[
g'(y) = -\frac{4x^3}{y \sin\left(\frac{1}{y}\right) - \frac{1}{y} \cos\left(\frac{1}{y}\right) + x^4}
\]

Portanto, **a afirmação (II) também é falsa**.

### Conclusão:

A resposta correta é que **todas são falsas**.

**Alternativa correta:**

\[
\boxed{a \text{ (2)}}
\]

---

Você tem alguma dúvida ou gostaria de mais detalhes?

Aqui estão algumas perguntas relacionadas para expandir seu entendimento:

1. Como derivar funções implícitas de forma mais eficiente?
2. O que é a regra da cadeia e como ela se aplica a derivadas implícitas?
3. Em que situações a derivada implícita é particularmente útil?
4. Como verificar a validade de uma derivada obtida implicitamente?
5. Qual é a importância de simplificar as expressões antes de resolver uma derivada implícita?

**Dica:** Quando trabalhar com derivadas implícitas, sempre verifique se as expressões derivadas se simplificam antes de isolar a derivada desejada.

Explore a análise detalhada das derivadas implícitas utilizando exemplos práticos. Neste caso, examinamos duas afirmações sobre derivadas implícitas e suas validações. Descubra como diferenciar funções implícitas e aplicar a regra da cadeia de forma eficiente.

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