2-Los lados de un triángulo miden 11, 10 y 3 cm.
¿Qué cantidad se debe sumar a cada uno de ellos
para que resulte un triángulo rectángulo?

Para convertir un triángulo en un triángulo rectángulo, debemos asegurarnos de que los lados cumplan con el teorema de Pitágoras, es decir, que se verifique la ecuación:

\[
a^2 + b^2 = c^2
\]

donde \(a\), \(b\), y \(c\) son los lados del triángulo, con \(c\) siendo el lado más largo (la hipotenusa).

Dado que los lados del triángulo original son 11 cm, 10 cm, y 3 cm, vamos a plantear el problema:

Sea \(x\) la cantidad que debemos sumar a cada lado para que se forme un triángulo rectángulo. Entonces los nuevos lados serían \(11 + x\), \(10 + x\), y \(3 + x\).

### Paso 1: Identificar la hipotenusa

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es el lado más largo. Entonces, debemos determinar qué lado es la hipotenusa cuando se suma \(x\) a cada uno de los lados.

### Paso 2: Aplicar el teorema de Pitágoras

Hay tres posibles configuraciones para el triángulo rectángulo, dependiendo de cuál lado se considere como la hipotenusa:

1. Hipotenusa = \(11 + x\)
   \[
   (10 + x)^2 + (3 + x)^2 = (11 + x)^2
   \]

2. Hipotenusa = \(10 + x\)
   \[
   (11 + x)^2 + (3 + x)^2 = (10 + x)^2
   \]

3. Hipotenusa = \(3 + x\)
   \[
   (11 + x)^2 + (10 + x)^2 = (3 + x)^2
   \]

Vamos a resolver cada una de estas ecuaciones para encontrar el valor de \(x\).

### Caso 1: Hipotenusa = \(11 + x\)
\[
(10 + x)^2 + (3 + x)^2 = (11 + x)^2
\]
Expandiendo y simplificando:
\[
(100 + 20x + x^2) + (9 + 6x + x^2) = 121 + 22x + x^2
\]
\[
2x^2 + 26x + 109 = 121 + 22x + x^2
\]
\[
x^2 + 4x - 12 = 0
\]
Resolvemos esta ecuación cuadrática:
\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 \pm 8}{2}
\]
\[
x_1 = 2, \quad x_2 = -6
\]
El valor válido es \(x = 2\).

### Caso 2: Hipotenusa = \(10 + x\)
\[
(11 + x)^2 + (3 + x)^2 = (10 + x)^2
\]
Expandiendo y simplificando:
\[
(121 + 22x + x^2) + (9 + 6x + x^2) = 100 + 20x + x^2
\]
\[
2x^2 + 28x + 130 = 100 + 20x + x^2
\]
\[
x^2 + 8x + 30 = 0
\]
Esta ecuación no tiene soluciones reales, por lo que este caso no es posible.

### Caso 3: Hipotenusa = \(3 + x\)
\[
(11 + x)^2 + (10 + x)^2 = (3 + x)^2
\]
Expandiendo y simplificando:
\[
121 + 22x + x^2 + 100 + 20x + x^2 = 9 + 6x + x^2
\]
\[
2x^2 + 42x + 221 = 9 + 6x + x^2
\]
\[
x^2 + 36x + 212 = 0
\]
Esta ecuación también no tiene soluciones reales.

### Conclusión

El único valor de \(x\) que cumple con la condición de formar un triángulo rectángulo es \(x = 2\).

Por lo tanto, **se debe sumar 2 cm a cada lado** del triángulo original para que resulte un triángulo rectángulo.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se verifica que la solución \(x = 2\) cumple el teorema de Pitágoras?
2. ¿Qué sucede si se suma un valor diferente a 2 cm a cada lado?
3. ¿Cómo afecta la suma a las propiedades del triángulo original?
4. ¿Se podría haber encontrado \(x\) usando otro método matemático?
5. ¿Qué significa geométricamente añadir una constante a cada lado de un triángulo?

**Tip:** Para problemas de triángulos, considera siempre revisar si los lados pueden cumplir el teorema de Pitágoras antes de intentar soluciones más complejas.

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