In einem rechteckigen Raum mit einer Grundfläche von A = 100 m2 und einer Höhe von h = 2.9 m befindet sich trockene Luft mit einer Temperatur von 8 °C und einem Druck von 1.3 bar. (= Anfangszustand)

Der Raum wird so lange aufgeheizt, bis in ihm eine Temperatur von 740 °C herrscht. (= Endzustand)



Annahmen/Hinweise:

- Luft ist ein ideales Gas

- dV = 0

- dp ≠ 0

Für die Berechnung benötigte Stoffwerte sind der Tabelle für trockene Luft von 500°C bei Umgebungsdruck zu entnehmen.



a) Welcher Druck herrscht im Endzustand in dem Raum? 

Geben Sie das Ergebnis in bar an: 

b) Wie viel Wärme wird durch das Aufheizen an den Raum übertragen?

Geben Sie das Ergebnis in kWh an: 

c)  Der Aufheizprozess findet in 13 Minuten statt. Wie groß ist der, in den Raum eintretende, Wärmestrom?

Rechnen Sie hierfür bitte mit einem Ergebnis von Q = 81 kWh für b) weiter.

Geben Sie das Ergebnis in kW an: 


Um die Aufgabe zu lösen, verwenden wir die Annahme, dass Luft als ideales Gas betrachtet wird. Die Formel für ideale Gase lautet:

\[
\frac{p_1 V}{T_1} = \frac{p_2 V}{T_2}
\]

Da das Volumen \(V\) konstant ist (\(dV = 0\)), können wir die Druckverhältnisse direkt berechnen. Der Prozess verläuft also isochor (konstantes Volumen).

### Gegebene Daten:

- Anfangszustand:
  - Temperatur \(T_1 = 8^\circ C = 281.15 \, \text{K}\)
  - Druck \(p_1 = 1.3 \, \text{bar}\)
  
- Endzustand:
  - Temperatur \(T_2 = 740^\circ C = 1013.15 \, \text{K}\)

- Zeit des Aufheizprozesses: 13 Minuten
- Wärme \(Q = 81 \, \text{kWh}\) (für c) als Hinweis)

---

### a) Berechnung des Drucks im Endzustand

Wir verwenden die isochore Zustandsgleichung:

\[
\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}
\]

Umstellen nach \(p_2\):

\[
p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1}
\]

Einsetzen der Werte:

\[
p_2 = 1.3 \, \text{bar} \cdot \frac{1013.15 \, \text{K}}{281.15 \, \text{K}}
\]

Berechnen wir den Enddruck:

\[
p_2 \approx 1.3 \cdot 3.603
\]

\[
p_2 \approx 4.68 \, \text{bar}
\]

Der Druck im Endzustand beträgt somit \(p_2 \approx 4.68 \, \text{bar}\).

---

### b) Berechnung der übertragenen Wärme \(Q\)

Zur Berechnung der Wärme verwenden wir die thermodynamische Energiegleichung für ein ideales Gas:

\[
Q = m \cdot c_v \cdot \Delta T
\]

- \(m\): Masse der Luft im Raum
- \(c_v\): spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen
- \(\Delta T = T_2 - T_1\): Temperaturänderung

**Schritt 1: Berechnung der Luftmasse \(m\)**

Die Luftmasse lässt sich über die Zustandsgleichung des idealen Gases bestimmen:

\[
p_1 V = m R T_1
\]

Umstellen nach \(m\):

\[
m = \frac{p_1 V}{R T_1}
\]

- \(p_1 = 1.3 \, \text{bar} = 1.3 \cdot 10^5 \, \text{Pa}\)
- \(V = A \cdot h = 100 \, \text{m}^2 \cdot 2.9 \, \text{m} = 290 \, \text{m}^3\)
- \(R = 287 \, \text{J/kg K}\) (spezifische Gaskonstante für trockene Luft)
- \(T_1 = 281.15 \, \text{K}\)

Nun berechnen wir die Masse:

\[
m = \frac{1.3 \cdot 10^5 \, \text{Pa} \cdot 290 \, \text{m}^3}{287 \, \text{J/kg K} \cdot 281.15 \, \text{K}}
\]

Berechnen wir die Masse der Luft:

\[
m \approx 462.83 \, \text{kg}
\]

**Schritt 2: Berechnung der Wärme \(Q\)**

Die spezifische Wärmekapazität \(c_v\) für trockene Luft bei 500°C beträgt etwa \(c_v = 718 \, \text{J/kg K}\). 

Die Temperaturdifferenz \(\Delta T\) beträgt:

\[
\Delta T = T_2 - T_1 = 1013.15 \, \text{K} - 281.15 \, \text{K} = 732 \, \text{K}
\]

Nun können wir \(Q\) berechnen:

\[
Q = 462.83 \, \text{kg} \cdot 718 \, \text{J/kg K} \cdot 732 \, \text{K}
\]

\[
Q \approx 243.15 \cdot 10^6 \, \text{J}
\]

Um \(Q\) in \(kWh\) umzurechnen:

\[
Q = \frac{243.15 \cdot 10^6 \, \text{J}}{3.6 \cdot 10^6} \approx 67.54 \, \text{kWh}
\]

Die übertragene Wärme beträgt etwa \(67.54 \, \text{kWh}\).

---

### c) Berechnung des Wärmestroms

Wenn der Aufheizprozess 13 Minuten dauert und \(Q = 81 \, \text{kWh}\) (wie als Hinweis angegeben) beträgt, lässt sich der Wärmestrom \( \dot{Q} \) wie folgt berechnen:

\[
\dot{Q} = \frac{Q}{\Delta t}
\]

- \(Q = 81 \, \text{kWh} = 81 \cdot 1000 \, \text{Wh} = 81000 \, \text{Wh}\)
- \(\Delta t = 13 \, \text{Minuten} = 13 \cdot 60 \, \text{Sekunden} = 780 \, \text{Sekunden}\)

Einsetzen der Werte:

\[
\dot{Q} = \frac{81000 \, \text{Wh}}{780 \, \text{s}} = \frac{81000}{780}
\]

\[
\dot{Q} \approx 103.85 \, \text{kW}
\]

Der Wärmestrom beträgt etwa \(103.85 \, \text{kW}\).

---

### Zusammenfassung der Ergebnisse:
- **a)** Der Druck im Endzustand beträgt etwa \(4.68 \, \text{bar}\).
- **b)** Die übertragene Wärme beträgt etwa \(67.54 \, \text{kWh}\).
- **c)** Der Wärmestrom beträgt etwa \(103.85 \, \text{kW}\).

---

Möchtest du noch weitere Details oder Erklärungen zu einem bestimmten Teil haben?

Hier sind einige weitere relevante Fragen:
1. Wie ändert sich das Ergebnis, wenn der Druck im Anfangszustand anders wäre?
2. Was passiert, wenn der Aufheizprozess über einen längeren Zeitraum erfolgt?
3. Wie beeinflusst die Höhe des Raumes die Luftmasse im Raum?
4. Warum wird bei dieser Berechnung die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen verwendet?
5. Wie könnte man den Aufheizprozess effizienter gestalten?

**Tipp:** Wenn du die ideale Gasgleichung verwendest, achte immer darauf, alle Temperaturen in Kelvin anzugeben, um korrekte Ergebnisse zu erzielen.

In einem rechteckigen Raum mit einer Grundfläche von A = 100 m2 und einer Höhe von h = 2.9 m befindet sich trockene Luft mit einer Temperatur von 8 °C und einem Druck von 1.3 bar. (= Anfangszustand)
Der Raum wird so lange aufgeheizt, bis in ihm eine Temperatur von 740 °C herrscht. (= Endzustand)

Annahmen/Hinweise:
- Luft ist ein ideales Gas
- dV = 0
- dp ≠ 0

Für die Berechnung benötigte Stoffwerte sind der Tabelle für trockene Luft von 500°C bei Umgebungsdruck zu entnehmen.

 a) Welcher Druck herrscht im Endzustand in dem Raum?
Geben Sie das Ergebnis in bar an.

b) Wie viel Wärme wird durch das Aufheizen an den Raum übertragen?
Geben Sie das Ergebnis in kWh an.

c) Der Aufheizprozess findet in 13 Minuten statt. Wie groß ist der, in den Raum eintretende, Wärmestrom?
Rechnen Sie hierfür bitte mit einem Ergebnis von Q = 81 kWh für b) weiter.
Geben Sie das Ergebnis in kW an.

Learn how to calculate the pressure, heat transfer, and heat flux in a room with dry air as it's heated from 8°C to 740°C. This problem applies the ideal gas law, thermodynamic principles, and energy conservation. Suitable for students in undergraduate physics or engineering courses.

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