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Vamos a resolver las ecuaciones que se muestran en la imagen paso a paso, una para las funciones logarítmicas y otra para las funciones exponenciales.

### 1. **Ecuación Logarítmica**: 
\[
\log_5\left(\frac{1}{x}\right) = 2 + \log_5(1 - x)
\]

#### Paso 1: Usa propiedades de los logaritmos
Recordemos que:
\[
\log_b(a) - \log_b(c) = \log_b\left(\frac{a}{c}\right)
\]
y que:
\[
\log_b(b^k) = k
\]

Para comenzar, usamos la propiedad de los logaritmos para reorganizar el lado derecho:

\[
\log_5\left(\frac{1}{x}\right) = \log_5(1 - x) + 2
\]

Esto se puede reescribir como:

\[
\log_5\left(\frac{1}{x}\right) - \log_5(1 - x) = 2
\]

Aplicando la propiedad de los logaritmos mencionada antes:

\[
\log_5\left(\frac{\frac{1}{x}}{1 - x}\right) = 2
\]

#### Paso 2: Elimina el logaritmo
Ya que los logaritmos de base 5 son iguales, podemos reescribir la ecuación como una exponencial:

\[
\frac{1/x}{1 - x} = 5^2 = 25
\]

#### Paso 3: Simplifica
Multiplica ambos lados por \(1 - x\):

\[
\frac{1}{x} = 25(1 - x)
\]

Multiplica en el lado derecho:

\[
\frac{1}{x} = 25 - 25x
\]

#### Paso 4: Resuelve la ecuación
Multiplica ambos lados por \(x\) para eliminar la fracción:

\[
1 = 25x - 25x^2
\]

Reorganiza la ecuación:

\[
25x^2 - 25x + 1 = 0
\]

Esta es una ecuación cuadrática que podemos resolver usando la fórmula general:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Donde \(a = 25\), \(b = -25\) y \(c = 1\).

#### Paso 5: Calcula la solución
Aplicando la fórmula:

\[
x = \frac{-(-25) \pm \sqrt{(-25)^2 - 4(25)(1)}}{2(25)}
\]
\[
x = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 100}}{50}
\]
\[
x = \frac{25 \pm \sqrt{525}}{50}
\]
\[
x = \frac{25 \pm 22.91}{50}
\]

Esto da dos soluciones:

\[
x_1 = \frac{25 + 22.91}{50} = \frac{47.91}{50} \approx 0.9582
\]
\[
x_2 = \frac{25 - 22.91}{50} = \frac{2.09}{50} \approx 0.0418
\]

### 2. **Ecuación Exponencial**:
\[
\left(\frac{1}{81}\right)^{-x} = (9)^{2x} = (27)^{3x - 2}
\]

#### Paso 1: Reescribe las bases en términos de potencias
Sabemos que \(81 = 3^4\), \(9 = 3^2\), y \(27 = 3^3\). Entonces:

\[
\left(\frac{1}{3^4}\right)^{-x} = (3^2)^{2x} = (3^3)^{3x - 2}
\]

Simplificando:

\[
3^{4x} = 3^{4x} = 3^{9x - 6}
\]

#### Paso 2: Igualar exponentes
Como todas las bases son 3, podemos igualar los exponentes:

\[
4x = 9x - 6
\]

Resuelve para \(x\):

\[
4x - 9x = -6
\]
\[
-5x = -6
\]
\[
x = \frac{6}{5}
\]

### Soluciones Finales:
- Para la ecuación logarítmica, las soluciones son \(x_1 \approx 0.9582\) y \(x_2 \approx 0.0418\).
- Para la ecuación exponencial, la solución es \(x = \frac{6}{5} = 1.2\).

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplican las propiedades de los logaritmos en ecuaciones más complejas?
2. ¿Qué otros métodos hay para resolver ecuaciones logarítmicas?
3. ¿Qué son las ecuaciones exponenciales y en qué se diferencian de las logarítmicas?
4. ¿Cómo afecta la forma de la base en las ecuaciones exponenciales al resolver?
5. ¿Cuáles son las restricciones que debemos verificar al resolver ecuaciones logarítmicas?

**Tip**: Siempre verifica si las soluciones obtenidas satisfacen las restricciones del dominio de los logaritmos (por ejemplo, que los argumentos sean positivos).

Resuelve paso a paso las siguientes ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

Learn how to solve logarithmic and exponential equations using properties of logarithms and exponentiation rules. This problem involves applying logarithmic identities, simplifying equations, and using the quadratic formula. Suitable for students in Grades 10-12.

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