Resolver la desigualdad "(3/x-2)-4 < (2x-6/2x-4)

Vamos a resolver la desigualdad paso a paso:

La desigualdad es:

\[
\frac{3}{x-2} - 4 < \frac{2x-6}{2x-4}
\]

### Paso 1: Simplificar la expresión
Primero, simplificamos ambos lados de la desigualdad.

#### Lado derecho:
\[
\frac{2x-6}{2x-4}
\]
Factorizamos tanto el numerador como el denominador:
\[
\frac{2(x-3)}{2(x-2)} = \frac{x-3}{x-2}
\]
Por lo tanto, la desigualdad queda:

\[
\frac{3}{x-2} - 4 < \frac{x-3}{x-2}
\]

### Paso 2: Eliminar fracciones
Multiplicamos toda la desigualdad por \((x-2)\) para eliminar los denominadores. Sin embargo, como no conocemos el signo de \((x-2)\), debemos considerar dos casos: cuando \(x-2 > 0\) (es decir, \(x > 2\)) y cuando \(x-2 < 0\) (es decir, \(x < 2\)).

#### Caso 1: \(x > 2\)
Aquí, podemos multiplicar por \((x-2)\) sin cambiar el signo de la desigualdad:

\[
3 - 4(x-2) < x - 3
\]

Expandimos:
\[
3 - 4x + 8 < x - 3
\]
Simplificamos:
\[
11 - 4x < x - 3
\]
Sumamos \(4x\) a ambos lados:
\[
11 < 5x - 3
\]
Sumamos 3 a ambos lados:
\[
14 < 5x
\]
Dividimos entre 5:
\[
x > \frac{14}{5}
\]

En este caso, la solución es \(x > \frac{14}{5}\), pero también debemos recordar que \(x > 2\). Así que la solución para este caso es \(x > \frac{14}{5}\).

#### Caso 2: \(x < 2\)
En este caso, multiplicamos por \((x-2)\), pero cambiamos el signo de la desigualdad:

\[
3 - 4(x-2) > x - 3
\]
Expandimos:
\[
3 - 4x + 8 > x - 3
\]
Simplificamos:
\[
11 - 4x > x - 3
\]
Sumamos \(4x\) a ambos lados:
\[
11 > 5x - 3
\]
Sumamos 3 a ambos lados:
\[
14 > 5x
\]
Dividimos entre 5:
\[
x < \frac{14}{5}
\]

En este caso, la solución es \(x < \frac{14}{5}\), pero también debemos recordar que \(x < 2\). Así que la solución para este caso es \(x < 2\).

### Solución final
La solución de la desigualdad es:
\[
x < 2 \quad \text{o} \quad x > \frac{14}{5}
\]

### Conclusión


Resolver la desigualdad (3/x-2)-4 < (2x-6/2x-4)

Learn how to solve the rational inequality (3/x-2)-4 < (2x-6)/(2x-4) with detailed step-by-step instructions. This guide covers algebraic concepts like simplifying rational expressions and solving inequalities, suitable for students in Grades 9-11.

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