CREVERSE  11. 자연수 조에 대하여 9(z)를 2를 나눌 수 있는 가장 큰 2의 거듭제곱수라고 하자.  예를 들어, g(20)=4, 9(16)=16이다. 자연수 n에 대하여,  S, = 9(2)+ 9(4)+9(6) +..+ g(2" - 2)+ 9(2")  이라고 할 때, S이 완전제곱수가 되는 n(< 1000) 중에서 최댓값을 구하여라.  


이 문제는 자연수 \( n \)에 대해 주어진 함수 \( g(k) \)와 수열 \( S_n \)를 통해 \( S_n \)이 완전제곱수가 되는 \( n \)의 최댓값을 찾는 문제입니다. 문제를 단계별로 해결해 보겠습니다.

1. **함수 \( g(k) \) 정의**:
    \( g(k) \)는 9(z)의 뜻을 설명하지 않았기 때문에, 대신에 가장 큰 2의 거듭제곱수를 의미한다고 해석합니다. 예를 들어, \( g(20) = 4 \)이고 \( g(16) = 16 \)입니다. 따라서 \( g(k) \)는 \( k \)를 나눌 수 있는 가장 큰 2의 거듭제곱수입니다.

2. **수열 \( S_n \) 정의**:
    \[
    S_n = g(2) + g(4) + g(6) + \cdots + g(2^n - 2) + g(2^n)
    \]

3. **\( g(k) \) 계산**:
    주어진 \( k \)에 대해 \( k \)를 나눌 수 있는 가장 큰 2의 거듭제곱수를 찾습니다. 이는 \( k \)의 이진수 표현에서 마지막 1이 나타나는 위치에 해당하는 2의 거듭제곱수입니다. 예를 들어, \( k = 20 \)의 이진수는 \( 10100 \)이고, 마지막 1은 \( 2^2 \) 위치에 있으므로 \( g(20) = 4 \)입니다.

4. **수열 \( S_n \) 계산**:
    \[
    S_n = \sum_{k=1}^{2^n/2} g(2k)
    \]
    여기서, \( 2k \)는 짝수이므로 \( 2k \)의 가장 큰 2의 거듭제곱수는 \( 2 \times k \)에서 2를 제외한 부분입니다.

5. **\( S_n \)이 완전제곱수인지 확인**:
    \( S_n \)이 완전제곱수가 되기 위해서는 각 \( n \)에 대해 \( S_n \)을 계산하고, 그 결과가 어떤 수의 제곱인지 확인합니다.

계산을 시작해 보겠습니다:

1. \( g(2) = 2 \)
2. \( g(4) = 4 \)
3. \( g(6) = 2 \)
4. \( g(8) = 8 \)
5. \( g(10) = 2 \)
6. \( g(12) = 4 \)
7. \( g(14) = 2 \)
8. \( g(16) = 16 \)

각 항의 합을 구해 \( S_n \)을 계산해 보겠습니다.

\[
S_n = \sum_{k=1}^{2^n/2} g(2k)
\]

n의 값에 따라 \( S_n \)을 계산하고, 이를 완전제곱수로 만드는 최대 \( n \)을 찾겠습니다.

우선, 코드를 통해 계산하여 최대값을 찾겠습니다.

```python
def g(k):
    power = 1
    while power * 2 <= k:
        power *= 2
    return power

def S(n):
    total_sum = 0
    for k in range(1, 2**n//2 + 1):
        total_sum += g(2 * k)
    return total_sum

def is_perfect_square(x):
    return int(x**0.5)**2 == x

max_n = 0
for n in range(1, 1000):
    if is_perfect_square(S(n)):
        max_n = n

max_n
```

위 코드를 통해 \( n \)의 값을 구하고 그 중 최대값을 확인해 보겠습니다.

Explore the solution to finding the maximum n (< 1000) for which the sum S_n of specified terms is a perfect square. Understand the concept of g(k) as the largest power of two dividing k and its application in calculating S_n. Suitable for advanced high school students interested in number theory and problem-solving.

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