1.	Encuentra el limx─>0 f(x) en cada una de las siguientes funciones:

Claro, para encontrar el límite cuando \( x \to 0 \) en las siguientes funciones definidas por tramos, vamos a analizar cada tramo por separado y luego combinar los resultados.

### Función dada
\[ f(x) = \begin{cases} 
\frac{x^2 - 1}{x - 1}, & \text{si } x \leq 0 \\
\sqrt{9 - x^2}, & \text{si } x > 0 
\end{cases}
\]

### Análisis por tramos
1. **Para \( x \leq 0 \):**
\[ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \]

Podemos simplificar el numerador:
\[ x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) \]

Entonces,
\[ \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} \]

Para \( x \neq 1 \), podemos cancelar el factor común:
\[ = x + 1 \]

Para \( x \leq 0 \):
\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 0^-} (x + 1) = 0 + 1 = 1 \]

2. **Para \( x > 0 \):**
\[ f(x) = \sqrt{9 - x^2} \]

Para \( x > 0 \):
\[ \lim_{x \to 0^+} \sqrt{9 - x^2} = \sqrt{9 - 0^2} = \sqrt{9} = 3 \]

### Conclusión
Como los límites laterales no son iguales:
\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 \]
\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = 3 \]

Entonces, el límite de \( f(x) \) cuando \( x \to 0 \) no existe.

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas
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8. ¿Cuál es la importancia de los límites en el cálculo diferencial?

### Tip
Para determinar si una función es continua en un punto, verifica si el límite de la función desde ambos lados del punto es igual al valor de la función en ese punto.

Explore how to find the limit of f(x) as x approaches 0 for piecewise functions. This problem involves analyzing different segments of the function, including the use of limits and continuity concepts. Suitable for advanced high school students and calculus enthusiasts.

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