1.	En cada caso encontrar el vector gradiente para cada funci´on.
a)	z = xex2+y2
b)	z = x
c)	z = exy ln(x2 + y2)
d)	z = cos yexy sin x


Para encontrar el **vector gradiente** de una función \( z = f(x, y) \), necesitamos calcular las derivadas parciales de \( z \) con respecto a \( x \) y \( y \). El gradiente es un vector que apunta en la dirección de mayor incremento de la función y está dado por:

\[
\nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right)
\]

### a) \( z = xe^{x^2 + y^2} \)

1. Derivada parcial con respecto a \( x \):

\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( xe^{x^2 + y^2} \right) = e^{x^2 + y^2} + x \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{x^2 + y^2} \right)
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x^2 + y^2} + 2x^2 e^{x^2 + y^2} = e^{x^2 + y^2}(1 + 2x^2)
\]

2. Derivada parcial con respecto a \( y \):

\[
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( xe^{x^2 + y^2} \right) = x \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( e^{x^2 + y^2} \right)
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = x \cdot 2y e^{x^2 + y^2} = 2xy e^{x^2 + y^2}
\]

Entonces, el gradiente es:

\[
\nabla z = \left( e^{x^2 + y^2}(1 + 2x^2), 2xy e^{x^2 + y^2} \right)
\]

---

### b) \( z = x \)

1. Derivada parcial con respecto a \( x \):

\[
\frac{\partial z}{\partial x} = 1
\]

2. Derivada parcial con respecto a \( y \):

\[
\frac{\partial z}{\partial y} = 0
\]

Entonces, el gradiente es:

\[
\nabla z = (1, 0)
\]

---

### c) \( z = e^{xy} \ln(x^2 + y^2) \)

1. Derivada parcial con respecto a \( x \):

Utilizando la regla del producto:

\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \ln(x^2 + y^2) \right) = e^{xy} \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( \ln(x^2 + y^2) \right) + \ln(x^2 + y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \right)
\]
\[
\frac{\partial}{\partial x} \left( \ln(x^2 + y^2) \right) = \frac{2x}{x^2 + y^2}
\]
\[
\frac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \right) = y e^{xy}
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = e^{xy} \cdot \frac{2x}{x^2 + y^2} + \ln(x^2 + y^2) \cdot y e^{xy}
\]

2. Derivada parcial con respecto a \( y \):

De manera similar, usando la regla del producto:

\[
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{xy} \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( \ln(x^2 + y^2) \right) + \ln(x^2 + y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \right)
\]
\[
\frac{\partial}{\partial y} \left( \ln(x^2 + y^2) \right) = \frac{2y}{x^2 + y^2}
\]
\[
\frac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \right) = x e^{xy}
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{xy} \cdot \frac{2y}{x^2 + y^2} + \ln(x^2 + y^2) \cdot x e^{xy}
\]

Entonces, el gradiente es:

\[
\nabla z = \left( e^{xy} \cdot \frac{2x}{x^2 + y^2} + y e^{xy} \ln(x^2 + y^2), e^{xy} \cdot \frac{2y}{x^2 + y^2} + x e^{xy} \ln(x^2 + y^2) \right)
\]

---

### d) \( z = \cos y e^{xy} \sin x \)

1. Derivada parcial con respecto a \( x \):

\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \cos y e^{xy} \sin x \right) = \cos y \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \sin x \right)
\]
Usamos la regla del producto:
\[
\frac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \sin x \right) = e^{xy} \cos x + y e^{xy} \sin x
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \cos y \cdot \left( e^{xy} \cos x + y e^{xy} \sin x \right)
\]

2. Derivada parcial con respecto a \( y \):

\[
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \cos y e^{xy} \sin x \right) = -\sin y e^{xy} \sin x + \cos y \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \sin x \right)
\]
\[
\frac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \right) = x e^{xy}
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = -\sin y e^{xy} \sin x + \cos y \cdot x e^{xy} \sin x
\]

Entonces, el gradiente es:

\[
\nabla z = \left( \cos y \left( e^{xy} \cos x + y e^{xy} \sin x \right), -\sin y e^{xy} \sin x + \cos y x e^{xy} \sin x \right)
\]

---

### ¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna pregunta?

#### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se interpreta geométricamente el gradiente de una función?
2. ¿Qué relación tiene el gradiente con las curvas de nivel de una función?
3. ¿Cómo cambia el gradiente cuando la función depende de más de dos variables?
4. ¿Cuáles son las aplicaciones del gradiente en física y otros campos?
5. ¿Cómo se utiliza el gradiente en optimización de funciones?

#### Tip: El gradiente siempre es perpendicular a las curvas de nivel de una función.

En cada caso encontrar el vector gradiente para cada función. a) z = xe^{x^2 + y^2} b) z = x c) z = e^{xy} ln(x^2 + y^2) d) z = cos y e^{xy} sin x

Explore how to compute the gradient vectors for multivariable functions such as z = xe^{x^2 + y^2}, z = x, z = e^{xy} ln(x^2 + y^2), and z = cos y e^{xy} sin x. This detailed solution includes the use of partial derivatives, the product rule, and chain rule in differentiation. Suitable for first-year calculus students.

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