Para factorizar la expresión \(15 + 2b^2 - 8b^4\), primero la reescribimos en un orden más comúnmente usado, de mayor a menor grado:

\[ -8b^4 + 2b^2 + 15 \]

Ahora, buscamos factores para esta expresión. Dado que la expresión es un polinomio cuadrático en términos de \(b^2\), podemos reescribirla como:

\[ -8(b^2)^2 + 2(b^2) + 15 \]

Consideremos \(u = b^2\). Entonces la expresión se transforma en:

\[ -8u^2 + 2u + 15 \]

Procedemos a factorizar este polinomio cuadrático en términos de \(u\).

Para factorizar \( -8u^2 + 2u + 15 \), utilizamos el método de factorización de trinomios. Buscamos dos números que multipliquen para obtener el producto de \(-8\) y \(15\) (el coeficiente del término cuadrático y el término constante) que es \(-120\), y que sumen para obtener \(2\) (el coeficiente del término lineal).

Esos números son \(10\) y \(-12\):

\[ -8u^2 + 10u - 12u + 15 \]

Ahora, agrupamos los términos y factorizamos por grupos:

\[ (-8u^2 + 10u) + (-12u + 15) \]

Factorizamos cada grupo por separado:

\[ 2u(-4u + 5) - 3(-4u + 5) \]

Sacamos el factor común:

\[ (2u - 3)(-4u + 5) \]

Volvemos a sustituir \(u = b^2\):

\[ (2b^2 - 3)(-4b^2 + 5) \]

Por lo tanto, la factorización de \(15 + 2b^2 - 8b^4\) es:

\[ (2b^2 - 3)(-4b^2 + 5) \]

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

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1. ¿Cómo se identifica el término cuadrático en una expresión polinómica?
2. ¿Qué otros métodos de factorización existen para polinomios?
3. ¿Cómo se reescribe una expresión para facilitar su factorización?
4. ¿Qué es la factorización por grupos?
5. ¿Cómo se utilizan los números obtenidos al multiplicar el coeficiente cuadrático y el término constante?
6. ¿Qué pasos adicionales se requieren al factorizar trinomios más complejos?
7. ¿Cómo se verifica si una factorización es correcta?
8. ¿Qué papel juega la sustitución temporal (como \(u = b^2\)) en la factorización?

**Consejo:** Siempre verifica tu factorización multiplicando los factores obtenidos para asegurarte de que recuperas el polinomio original.

Learn how to factorize the polynomial 15 + 2b^2 - 8b^4 step-by-step with detailed explanations. This problem covers polynomial factorization techniques, quadratic equations, and substitution methods, suitable for high school students.

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