Detrermine si el Teorema de Existencia y Unicidad garantiza que la ecuaci´on diferencial y
0 =
p
y
2 − 9 tiene una soluci´on
´unica que pasa por el punto:
a.) (1, 4)
b.) (5, 3)
c.) (2, −3)
d.) (−1, 1)

Para determinar si el Teorema de Existencia y Unicidad garantiza que la ecuación diferencial \( y' = \sqrt{y^2 - 9} \) tiene una solución única que pasa por los puntos dados, debemos analizar si las condiciones del teorema se cumplen en cada caso.

El Teorema de Existencia y Unicidad de Picard-Lindelöf establece que si la función \( f(x, y) \) y su derivada parcial con respecto a \( y \) son continuas en una región que contiene el punto \((x_0, y_0)\), entonces existe un intervalo en \( x \) alrededor de \( x_0 \) en el cual existe una única solución para la ecuación diferencial inicial que pasa por \((x_0, y_0)\).

Dada la ecuación diferencial \( y' = \sqrt{y^2 - 9} \):

1. **Continuidad de \( f(x, y) \):** La función \( f(x, y) = \sqrt{y^2 - 9} \) es continua cuando el argumento dentro de la raíz es no negativo, es decir, cuando \( y^2 - 9 \geq 0 \) o \( y^2 \geq 9 \). Esto implica \( |y| \geq 3 \).

2. **Continuidad de \( \frac{\partial f}{\partial y} \):** La derivada parcial de \( f(x, y) \) con respecto a \( y \) es \( \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{y^2 - 9}} \), que es continua siempre que \( y^2 - 9 > 0 \) o \( |y| > 3 \).

Ahora, analizamos cada punto:

a. **(1, 4):**
   - \( y = 4 \), cumple \( |y| \geq 3 \). Por lo tanto, \( f(x, y) \) y \( \frac{\partial f}{\partial y} \) son continuas alrededor de este punto.
   - El Teorema de Existencia y Unicidad garantiza una solución única.

b. **(5, 3):**
   - \( y = 3 \), cumple \( |y| \geq 3 \). Por lo tanto, \( f(x, y) \) y \( \frac{\partial f}{\partial y} \) son continuas alrededor de este punto.
   - El Teorema de Existencia y Unicidad garantiza una solución única.

c. **(2, -3):**
   - \( y = -3 \), cumple \( |y| \geq 3 \). Por lo tanto, \( f(x, y) \) y \( \frac{\partial f}{\partial y} \) son continuas alrededor de este punto.
   - El Teorema de Existencia y Unicidad garantiza una solución única.

d. **(-1, 1):**
   - \( y = 1 \), no cumple \( |y| \geq 3 \). Por lo tanto, \( f(x, y) \) no es continua alrededor de este punto.
   - El Teorema de Existencia y Unicidad no garantiza una solución única en este caso.

Resumiendo, el Teorema de Existencia y Unicidad garantiza una solución única para los puntos:

a. \((1, 4)\)  
b. \((5, 3)\)  
c. \((2, -3)\)  

Pero no garantiza una solución única para el punto:

d. \((-1, 1)\)

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué es el Teorema de Existencia y Unicidad?
2. ¿Cómo se determina la continuidad de una función?
3. ¿Qué implicaciones tiene la continuidad de \( \frac{\partial f}{\partial y} \)?
4. ¿Qué ocurre si \( f(x, y) \) no es continua en un punto?
5. ¿Qué pasa si \( y \) no cumple \( |y| \geq 3 \) en esta ecuación diferencial?
6. ¿Qué otros métodos existen para verificar la unicidad de una solución?
7. ¿Cómo afecta la condición inicial en la solución de una ecuación diferencial?
8. ¿Por qué es importante verificar las condiciones del Teorema de Picard-Lindelöf?

**Tip:** Cuando analices ecuaciones diferenciales, siempre revisa primero las condiciones de continuidad de la función y de sus derivadas parciales.

Explore whether the differential equation y' = sqrt(y^2 - 9) guarantees a unique solution passing through given points using the Existence and Uniqueness Theorem (Picard-Lindelöf). This problem involves analyzing continuity conditions and applying key theorems in differential equations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation