Sea la ecuación diferencial y'(x) +1 + (y/x)=0. Tienes que indicar para que valores de x la solución existe y es unica

La ecuación diferencial dada es:

\[
y'(x) + 1 + \frac{y}{x} = 0
\]

Primero, la reescribimos en una forma estándar. Restamos 1 de ambos lados:

\[
y'(x) + \frac{y}{x} = -1
\]

Esto tiene la forma general de una ecuación diferencial lineal de primer orden:

\[
y' + P(x)y = Q(x)
\]

Donde:
- \( P(x) = \frac{1}{x} \)
- \( Q(x) = -1 \)

El teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden nos dice que la solución existe y es única en un intervalo en el cual \( P(x) \) y \( Q(x) \) sean continuas. En este caso, tanto \( P(x) = \frac{1}{x} \) como \( Q(x) = -1 \) son continuas para todos los valores de \( x \) excepto en \( x = 0 \), ya que \( \frac{1}{x} \) no está definida en \( x = 0 \).

Por lo tanto, la solución existe y es única en cualquier intervalo que no incluya \( x = 0 \).

### Conclusión:
La solución de la ecuación diferencial existe y es única para \( x \neq 0 \), es decir, en cualquier intervalo donde \( x \) no sea cero.

---

¿Te gustaría más detalles sobre el método de solución o tienes alguna otra pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para profundizar:
1. ¿Cómo se resuelve una ecuación diferencial de primer orden con el método del factor integrante?
2. ¿Qué sucede con las soluciones cerca de \( x = 0 \)?
3. ¿Cómo se determina un intervalo específico para una condición inicial dada?
4. ¿Qué otras condiciones garantizan la unicidad de las soluciones en ecuaciones diferenciales?
5. ¿Qué pasa si la ecuación fuese no lineal?

**Tip**: Cuando \( P(x) \) o \( Q(x) \) no son continuas en algún punto, puede haber discontinuidades en la solución o fallar la unicidad.

Sea la ecuación diferencial y'(x) +1 + (y/x)=0. Tienes que indicar para que valores de x la solución existe y es unica.

Explore the conditions for existence and uniqueness of the solution to the first-order linear differential equation y'(x) + 1 + (y/x) = 0. Learn how the Existence and Uniqueness Theorem applies and why the solution is valid for x ≠ 0. Suitable for advanced high school or undergraduate students.

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