Ejemplo: utiliza el discriminante para determinar la naturaleza de las raíces de cada ecuación.

1) 9x
2 + 6x = −1
2)
6
x
− 2x = 9

Para determinar la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática, utilizamos el **discriminante**, que se denota por \( \Delta \) y se calcula como:

\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]

Dependiendo del valor de \( \Delta \):

- Si \( \Delta > 0 \), la ecuación tiene dos raíces reales y distintas.
- Si \( \Delta = 0 \), la ecuación tiene una raíz real doble (es decir, las dos raíces son iguales).
- Si \( \Delta < 0 \), la ecuación tiene dos raíces complejas conjugadas.

Vamos a aplicar esto a las dos ecuaciones que tenemos.

### 1) \( 9x^2 + 6x + 1 = 0 \)

Primero, observemos los coeficientes:
\[
a = 9, \quad b = 6, \quad c = 1
\]

Ahora, calculemos el discriminante:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(9)(1) = 36 - 36 = 0
\]

**Interpretación:**

Como \( \Delta = 0 \), esta ecuación tiene **una raíz real doble**. Es decir, las dos raíces son iguales.

### 2) \( 2x^2 + 9x - 6 = 0 \)

Ahora, para esta ecuación, los coeficientes son:
\[
a = 2, \quad b = 9, \quad c = -6
\]

Calculemos el discriminante:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 9^2 - 4(2)(-6) = 81 + 48 = 129
\]

**Interpretación:**

Como \( \Delta > 0 \), esta ecuación tiene **dos raíces reales y distintas**.

### Resumen

- Para la primera ecuación \( 9x^2 + 6x + 1 = 0 \), las raíces son reales e iguales.
- Para la segunda ecuación \( 2x^2 + 9x - 6 = 0 \), las raíces son reales y distintas.

¿Tienes alguna pregunta o te gustaría más detalles?

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**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo afecta el valor del discriminante a la gráfica de una función cuadrática?
2. ¿Qué sucede cuando el discriminante es negativo? ¿Cómo se interpretan las raíces complejas?
3. ¿Puedes explicar cómo se deriva la fórmula cuadrática a partir de la factorización?
4. ¿Cómo se calcula el discriminante para ecuaciones cuadráticas incompletas (sin término lineal o sin término constante)?
5. ¿Qué significa tener una raíz doble en términos de intersección con el eje \( x \) en la gráfica?

**Consejo:** Siempre verifica el discriminante antes de intentar resolver una ecuación cuadrática, ya que te dará información crucial sobre el tipo de soluciones que puedes esperar.

Learn how to determine the nature of roots of quadratic equations using the discriminant. Detailed examples and solutions provided for two quadratic equations. Understand when roots are real and distinct, real and equal, or complex conjugates. Suitable for high school students.

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