Etudier la convergence de la suite un = (−1)
n
n+1
n
. 

Pour étudier la convergence de la suite \((u_n)\) définie par :

\[
u_n = \frac{(-1)^n}{n+1} + \frac{1}{n}
\]

nous allons examiner séparément les deux termes \(\frac{(-1)^n}{n+1}\) et \(\frac{1}{n}\).

### Étape 1 : Étude de \(\frac{(-1)^n}{n+1}\)
Le terme \(\frac{(-1)^n}{n+1}\) oscille entre des valeurs positives et négatives en fonction de \(n\), car \((-1)^n\) change de signe à chaque entier \(n\) (valant \(1\) pour \(n\) pair et \(-1\) pour \(n\) impair).

Cependant, à mesure que \(n\) augmente, \(n+1\) devient de plus en plus grand, ce qui fait que la fraction \(\frac{(-1)^n}{n+1}\) tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers l'infini.

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n+1} = 0
\]

### Étape 2 : Étude de \(\frac{1}{n}\)
Le terme \(\frac{1}{n}\) est une suite bien connue, et il tend également vers \(0\) quand \(n\) tend vers l'infini.

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0
\]

### Étape 3 : Conclusion sur la convergence de \(u_n\)
Comme \(u_n = \frac{(-1)^n}{n+1} + \frac{1}{n}\), la somme des deux termes tend vers \(0\) lorsque \(n\) tend vers l'infini, puisque chacun des deux termes tend vers \(0\).

\[
\lim_{n \to \infty} u_n = 0
\]

### Conclusion
La suite \((u_n)\) converge vers \(0\).

---

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails ? 

Voici quelques questions connexes pour approfondir :

1. Quelle est la différence entre une suite oscillante et une suite monotone ?
2. Que se passe-t-il si le terme oscillant a un comportement différent ? (ex: \( \frac{(-1)^n}{n} \))
3. Comment prouver la convergence uniforme d’une suite de fonctions ?
4. Comment traiter la convergence d'une série plutôt que d'une suite ?
5. Quels types de suites ne convergent pas ?

**Tip :** Lorsqu'une suite est composée de plusieurs termes, étudiez-les séparément pour mieux comprendre leur comportement global.

Etudier la convergence de la suite un = (−1)^n / (n+1) + 1/n.

Explore the convergence of the sequence un = (−1)^n / (n+1) + 1/n. This detailed solution examines the limit behavior of both terms individually and concludes that the sequence converges to 0. Suitable for university-level calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation