Obtener el valor de a ∈ R para que el número 3+2i /α+6ί sea:

a) Real

b) Imaginario puro

Para encontrar el valor de \( a \in \mathbb{R} \) que satisface las condiciones dadas en cada caso, necesitamos trabajar con el número complejo \( \frac{3 + 2i}{a + 6i} \) y aplicar las propiedades necesarias para que el resultado sea real o imaginario puro.

### Paso 1: Expresión general del número complejo
Dado que \( \frac{3 + 2i}{a + 6i} \) es un cociente de números complejos, podemos multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador para simplificar la expresión.

El conjugado de \( a + 6i \) es \( a - 6i \). Entonces, multiplicamos:

\[
\frac{3 + 2i}{a + 6i} \cdot \frac{a - 6i}{a - 6i} = \frac{(3 + 2i)(a - 6i)}{(a + 6i)(a - 6i)}
\]

Primero, calculemos el denominador:

\[
(a + 6i)(a - 6i) = a^2 - (6i)^2 = a^2 + 36
\]

Luego, calculemos el numerador:

\[
(3 + 2i)(a - 6i) = 3a - 18i + 2ai - 12i^2 = 3a - 18i + 2ai + 12
\]
Recuerda que \( i^2 = -1 \), por lo que \( -12i^2 = 12 \). El numerador se convierte en:

\[
(3a + 12) + (-18 + 2a)i
\]

Entonces, la expresión general es:

\[
\frac{(3a + 12) + (-18 + 2a)i}{a^2 + 36}
\]

Esto puede reescribirse como:

\[
\frac{3a + 12}{a^2 + 36} + \frac{-18 + 2a}{a^2 + 36}i
\]

### a) Condición para que sea un número real
Para que el número sea real, la parte imaginaria debe ser cero. La parte imaginaria de la fracción es:

\[
\frac{-18 + 2a}{a^2 + 36}
\]

Igualamos esta expresión a cero:

\[
-18 + 2a = 0
\]

De aquí, despejamos \( a \):

\[
2a = 18 \quad \Rightarrow \quad a = 9
\]

Por lo tanto, el número es **real** cuando \( a = 9 \).

### b) Condición para que sea un número imaginario puro
Para que el número sea imaginario puro, la parte real debe ser cero. La parte real de la fracción es:

\[
\frac{3a + 12}{a^2 + 36}
\]

Igualamos esta expresión a cero:

\[
3a + 12 = 0
\]

Despejamos \( a \):

\[
3a = -12 \quad \Rightarrow \quad a = -4
\]

Por lo tanto, el número es **imaginario puro** cuando \( a = -4 \).

### Resumen:
- El número es **real** cuando \( a = 9 \).
- El número es **imaginario puro** cuando \( a = -4 \).

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta?

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Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se multiplica por el conjugado en números complejos?
2. ¿Qué propiedades del conjugado son útiles para simplificar fracciones complejas?
3. ¿Por qué la parte imaginaria debe ser cero para que un número sea real?
4. ¿Cómo afectan los valores de \( a \) al resultado de la fracción?
5. ¿Qué otras operaciones complejas requieren usar el conjugado?

**Tip**: Multiplicar por el conjugado es una técnica muy útil para simplificar cocientes de números complejos y eliminar las partes imaginarias del denominador.

Obtener el valor de a ∈ R para que el número 3 + 2i / α + 6ί sea: a) Real b) Imaginario puro

Learn how to determine the value of a for the complex fraction (3 + 2i) / (a + 6i) to be either real or purely imaginary. This problem covers key concepts in complex numbers, including the use of conjugates and properties of real and imaginary components. Suitable for students in Grades 10-12.

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