A 90m de una torre, se observa su parte más alta con un ángulo de elevación “∝” y si nos alejamos 40 m el ángulo de elevación es el complemento de “∝”. Calcular “tg∝”

Tenemos una situación donde un observador está a 90 metros de la base de una torre y observa la parte más alta con un ángulo de elevación \( \alpha \). Luego, al alejarse 40 metros más (es decir, a 130 metros de la torre), el ángulo de elevación es el complemento de \( \alpha \), es decir, \( 90^\circ - \alpha \).

Utilizaremos las relaciones trigonométricas de los triángulos rectángulos para resolver el problema.

### Paso 1: Definir las relaciones trigonométricas

Para el primer punto de observación, a una distancia de 90 metros:

\[
\tan(\alpha) = \frac{h}{90}
\]

Para el segundo punto de observación, a una distancia de 130 metros:

\[
\tan(90^\circ - \alpha) = \frac{h}{130}
\]

Sabemos que \( \tan(90^\circ - \alpha) \) es igual a \( \cot(\alpha) \), por lo que:

\[
\cot(\alpha) = \frac{h}{130}
\]

Recordando que \( \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} \), tenemos la siguiente ecuación:

\[
\frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{h}{130}
\]

### Paso 2: Igualar las ecuaciones

De la primera ecuación, despejamos \( h \):

\[
h = 90 \cdot \tan(\alpha)
\]

Sustituimos este valor de \( h \) en la segunda ecuación:

\[
\frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{90 \cdot \tan(\alpha)}{130}
\]

Multiplicamos ambos lados por \( \tan(\alpha) \):

\[
1 = \frac{90 \cdot (\tan(\alpha))^2}{130}
\]

### Paso 3: Despejar \( \tan(\alpha) \)

Multiplicamos ambos lados por 130:

\[
130 = 90 \cdot (\tan(\alpha))^2
\]

Dividimos entre 90:

\[
\frac{130}{90} = (\tan(\alpha))^2
\]

Simplificamos la fracción:

\[
\frac{13}{9} = (\tan(\alpha))^2
\]

Por lo tanto:

\[
\tan(\alpha) = \sqrt{\frac{13}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}
\]

### Resultado

La tangente del ángulo \( \alpha \) es:

\[
\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{13}}{3}
\]

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el ángulo si se conoce la tangente?
2. ¿Qué es la cotangente y cómo se relaciona con la tangente?
3. ¿Cómo podemos usar funciones trigonométricas inversas para obtener \( \alpha \)?
4. ¿Qué otros métodos trigonométricos existen para resolver problemas con triángulos rectángulos?
5. ¿Cómo varía el ángulo de elevación al cambiar la distancia a la torre?

**Tip:** Recuerda que la tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

A 90m de una torre, se observa su parte más alta con un ángulo de elevación ∝ y si nos alejamos 40 m el ángulo de elevación es el complemento de ∝. Calcular tg∝

Learn how to calculate the tangent of an angle (tg(∝)) when observing the top of a tower from two distances with complementary angles. This trigonometry problem uses right triangles and tangent-cotangent relationships. Suitable for Grades 10-12.

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