要计算积分 \( I = \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{e^x - 1} \, dx \)，我们可以使用黎曼ζ函数（Riemann zeta function）和伽玛函数（Gamma function）的关系。

首先，这个积分的形式可以通过下列步骤与著名的公式相关联：

1. **考虑积分的定义：**
   \[
   I = \int_{0}^{+\infty} \frac{x}{e^x - 1} \, dx
   \]

2. **展开分母的幂级数：**  
   我们知道：
   \[
   \frac{1}{e^x - 1} = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx}
   \]
   因此，积分可以重写为：
   \[
   I = \int_{0}^{+\infty} x \sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx} \, dx
   \]

3. **交换求和与积分的次序：**
   由于求和与积分的次序可以交换（可以通过Fubini定理证明），我们有：
   \[
   I = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{+\infty} x e^{-nx} \, dx
   \]

4. **计算积分：**  
   对于每个 \( n \)，积分可以直接计算：
   \[
   \int_{0}^{+\infty} x e^{-nx} \, dx = \frac{1}{n^2}
   \]
   因此：
   \[
   I = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
   \]

5. **使用黎曼ζ函数：**
   这里的求和正好是黎曼ζ函数的定义：
   \[
   \zeta(2) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
   \]
   并且已知 \(\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\)。

最终，积分的结果是：
\[
I = \frac{\pi^2}{6}
\]

### 总结：
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{e^x - 1} \, dx = \frac{\pi^2}{6}
\]

---

需要进一步的详细解释或有其他问题吗？

### 相关问题
1. 如何证明黎曼ζ函数的求和公式？
2. 黎曼ζ函数在其他整数点的值是什么？
3. 伽玛函数与积分的关系是什么？
4. 在什么情况下可以交换积分与求和的次序？
5. 黎曼ζ函数与数论有什么联系？

### 小提示
在解题时，识别出可以将复杂的积分转换为已知特殊函数形式是一种非常有效的技巧。

Explore how to compute the integral of x / (e^x - 1) from 0 to infinity using the relationship between Riemann zeta function and Gamma function. Learn about the series expansion, interchange of sum and integral orders, and the final result using Riemann zeta function. Suitable for advanced mathematics enthusiasts.

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