 Un grupo de turistas sale de la plaza central en búsqueda de los 
monumentos que desean observar, únicamente guiados por su intuición, 
mientras el guía turístico los espera en la plaza central. Inician su recorrido 
moviéndose a 300 m al noroeste luego 900 m a 30.0° al oeste del sur y por 
último a 500 m al oeste.               

Determine la magnitud y dirección a la que debe moverse el grupo 
turístico si desean regresar a la plaza central. R// 𝟏.𝟐𝟗∠𝟐𝟔.𝟎°	⌈𝒌𝒎⌉ 
Determine la magnitud y dirección a la que debe moverse el guía turístico 
si desea llegar al encuentro del grupo turístico.    R// 𝟏.𝟐𝟗∠𝟐𝟎𝟔.𝟎°	⌈𝒌𝒎⌉ 

Vamos a descomponer el movimiento del grupo turístico en componentes vectoriales para determinar la magnitud y dirección en que deben moverse para regresar a la plaza central.

1. **Primer movimiento: 300 m al noroeste**  
   El movimiento hacia el noroeste implica una dirección de 45° al oeste del norte (o 135° desde el eje positivo X). Este movimiento tiene componentes tanto en el eje X (oeste) como en el eje Y (norte).
   - Componente X: \( 300 \cdot \cos(135^\circ) = -300 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -212.13 \, \text{m} \)
   - Componente Y: \( 300 \cdot \sin(135^\circ) = 300 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 212.13 \, \text{m} \)

2. **Segundo movimiento: 900 m a 30° al oeste del sur**  
   Este movimiento implica un ángulo de 30° al oeste del sur, o lo que es lo mismo, 210° desde el eje positivo X.  
   - Componente X: \( 900 \cdot \cos(210^\circ) = 900 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -779.42 \, \text{m} \)
   - Componente Y: \( 900 \cdot \sin(210^\circ) = 900 \cdot (-\frac{1}{2}) = -450 \, \text{m} \)

3. **Tercer movimiento: 500 m al oeste**  
   El movimiento es directamente hacia el oeste, por lo que solo tiene componente en el eje X:
   - Componente X: \( -500 \, \text{m} \)
   - Componente Y: \( 0 \, \text{m} \)

### Sumar las componentes de cada movimiento:
Ahora sumamos todas las componentes en X y Y.

- Componente X total:  
  \[
  X_{\text{total}} = -212.13 \, \text{m} + (-779.42 \, \text{m}) + (-500 \, \text{m}) = -1491.55 \, \text{m}
  \]

- Componente Y total:  
  \[
  Y_{\text{total}} = 212.13 \, \text{m} + (-450 \, \text{m}) + 0 \, \text{m} = -237.87 \, \text{m}
  \]

### Magnitud del desplazamiento resultante:
La magnitud del desplazamiento necesario para regresar a la plaza central es la hipotenusa formada por las componentes en X y Y:

\[
d = \sqrt{(-1491.55)^2 + (-237.87)^2} = \sqrt{2223865.7 + 56590.3} = \sqrt{2280456} \approx 1509.79 \, \text{m} \approx 1.51 \, \text{km}
\]

### Dirección del desplazamiento (ángulo):
El ángulo de regreso a la plaza central desde la posición actual se calcula con la función tangente inversa:

\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{237.87}{1491.55}\right) = \tan^{-1}(0.1595) \approx 9.09^\circ
\]

Como ambas componentes X e Y son negativas, el vector resultante está en el tercer cuadrante, por lo que el ángulo respecto al eje positivo X es:

\[
\theta_{\text{final}} = 180^\circ + 9.09^\circ = 189.09^\circ
\]

Esto representa la dirección a la que deben moverse para regresar al punto de partida.

### Respuesta:  
- **Magnitud:** \( 1.51 \, \text{km} \)  
- **Dirección:** \( 189.09^\circ \)

¿Te gustaría que revisemos más detalles o tienes alguna duda sobre el proceso?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se descomponen los vectores en componentes horizontales y verticales?
2. ¿Qué significa un ángulo de dirección en el contexto de movimiento en 2D?
3. ¿Cómo se usa el teorema de Pitágoras para calcular magnitudes en problemas vectoriales?
4. ¿Por qué es importante considerar los cuadrantes al calcular direcciones?
5. ¿Cómo afectaría un cambio en el ángulo de los movimientos originales a las componentes vectoriales?

**Tip:** Siempre que trabajes con vectores, es útil visualizar la dirección y magnitud en un diagrama para evitar confusiones.

Un grupo de turistas sale de la plaza central en búsqueda de los monumentos que desean observar, únicamente guiados por su intuición, mientras el guía turístico los espera en la plaza central. Inician su recorrido moviéndose a 300 m al noroeste luego 900 m a 30.0° al oeste del sur y por último a 500 m al oeste.

Determine la magnitud y dirección a la que debe moverse el grupo turístico si desean regresar a la plaza central. R// 1.29∠26.0° ⌈km⌉ Determine la magnitud y dirección a la que debe moverse el guía turístico si desea llegar al encuentro del grupo turístico. R// 1.29∠206.0° ⌈km⌉

Explore how to determine the magnitude and direction for a group of tourists to return to their starting point using vector addition, trigonometry, and the Pythagorean theorem. This problem is suitable for Grades 11-12 students.

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