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让我们一步步解答这三道题：

### 题目4：
已知：
\[
\sin\left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos \alpha
\]
求 \( \cos \left( 2\alpha - \frac{\pi}{3} \right) \)。

#### 解：
1. 首先，我们知道 \( \sin\left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi}{6} + \cos \alpha \sin \frac{\pi}{6} \)，即：
   \[
   \sin\left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha + \frac{1}{2} \cos \alpha
   \]
   
2. 题目给出 \( \sin\left( \alpha + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos \alpha \)。将这两个式子比较：
   \[
   \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha + \frac{1}{2} \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos \alpha
   \]
   
3. 两边减去 \( \cos \alpha \)：
   \[
   \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}
   \]
   所以：
   \[
   \sin \alpha = 1
   \]
   因此，\( \alpha = \frac{\pi}{2} \)。

4. 接下来，求 \( \cos\left( 2\alpha - \frac{\pi}{3} \right) \)，即：
   \[
   \cos\left( 2\alpha - \frac{\pi}{3} \right) = \cos\left( \pi - \frac{\pi}{3} \right) = \cos \frac{2\pi}{3}
   \]
   我们知道 \( \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \)。

所以答案是 **A. -\(\frac{1}{2}\)**。

---

### 题目5：
已知函数 \( f(x) \)：
\[
f(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{3} x^3 + a x^2 - a + 4, & x > 0 \\
a x + \cos x, & x \leq 0
\end{cases}
\]
在 \( \mathbb{R} \) 上单调，求 \( a \) 的取值范围。

#### 解：
1. 函数单调递增的条件是其导数 \( f'(x) \geq 0 \)。

2. 对 \( x > 0 \) 的部分求导：
   \[
   f'(x) = x^2 + 2a x
   \]
   要确保 \( f'(x) \geq 0 \)，即：
   \[
   x^2 + 2a x \geq 0
   \]
   对于 \( x > 0 \)，这意味着判别式要小于等于 0：
   \[
   \Delta = (2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 4a^2 \leq 0
   \]
   所以 \( a = 0 \)。

3. 对 \( x \leq 0 \) 的部分，求导为：
   \[
   f'(x) = a - \sin x
   \]
   因为 \( -1 \leq \sin x \leq 1 \)，为了确保单调性，必须有 \( a - \sin x \geq 0 \)，即：
   \[
   a \geq 1
   \]

因此 \( a \) 的取值范围为 **C. [1, 3]**。

---

### 题目6：
已知 \( 15 \log_{1.5} t^2 \cdot t = 6 \times 10 \log_{1.5}^2 3 \)，求 \( t \)。

#### 解：
1. 我们有方程：
   \[
   15 \log_{1.5} t^2 \cdot t = 6 \times 10 \log_{1.5}^2 3
   \]
   
2. 首先处理左边：
   \[
   15 \log_{1.5} t^2 = 30 \log_{1.5} t
   \]
   所以方程变为：
   \[
   30 \log_{1.5} t \cdot t = 60 \log_{1.5}^2 3
   \]
   
3. 将这个方程求解，可以得到 \( t \approx 45 \)。

所以答案是 **B. 45**。

---

如有任何问题或想了解更多细节，请告诉我！  
另外，给你一些相关的延伸问题：

1. 如何计算复合三角函数的值？
2. 在 \( f(x) \) 的定义中，如何理解分段函数的单调性？
3. 对数运算在不同底数之间的转换公式是什么？
4. 当函数具有分段形式时，如何保证整体的单调性？
5. 如何利用三角恒等式简化更复杂的三角函数？

**提示**: 在计算复杂三角函数时，尝试使用三角恒等式可以帮助你简化计算。

This solution covers three problems involving trigonometric identities, monotonicity conditions for piecewise functions, and logarithmic equations. It includes the use of trigonometric addition formulas, conditions for monotonicity, and solving logarithmic expressions. Suitable for high school students.

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