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resolver solo los ejercicios de la letra C y poner el paso a paso en una manera que sea humanizado  

Vamos a resolver los ejercicios de la letra C de la actividad solicitada, paso a paso, de manera detallada y comprensible.

### Ejercicio 1

**Conjuntos:**
- \( U = \{x \mid x \in \mathbb{N}, 3 < x < 18 \} \)
- \( V = \{x \mid x = 3n + 1, n \in \mathbb{N}, 0 < n < 7 \} \)

#### a. Determinar por extensión cada conjunto:

- **Para el conjunto \( U \):**
  - Los valores de \( U \) son los números naturales entre 4 y 17:
  - \( U = \{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17\} \)

- **Para el conjunto \( V \):**
  - El conjunto \( V \) está dado por \( V = 3n + 1 \), donde \( n \) es un número natural y \( 0 < n < 7 \). Vamos a calcularlo para \( n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 \):
  - \( n = 1 \Rightarrow 3(1) + 1 = 4 \)
  - \( n = 2 \Rightarrow 3(2) + 1 = 7 \)
  - \( n = 3 \Rightarrow 3(3) + 1 = 10 \)
  - \( n = 4 \Rightarrow 3(4) + 1 = 13 \)
  - \( n = 5 \Rightarrow 3(5) + 1 = 16 \)
  - \( n = 6 \Rightarrow 3(6) + 1 = 19 \)
  
  - \( V = \{4, 7, 10, 13, 16, 19\} \)

#### b. Relación \( R \):

La relación está dada por: \( R = \{(x, y) \in U \times V \mid x = 2y - 4\} \)

- Vamos a calcular los pares \( (x, y) \) que cumplen con esta condición:

1. Para \( y = 4 \):
   - \( x = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4 \)
   - Entonces \( (4, 4) \) pertenece a \( R \).

2. Para \( y = 7 \):
   - \( x = 2(7) - 4 = 14 - 4 = 10 \)
   - Entonces \( (10, 7) \) pertenece a \( R \).

3. Para \( y = 10 \):
   - \( x = 2(10) - 4 = 20 - 4 = 16 \)
   - Entonces \( (16, 10) \) pertenece a \( R \).

4. Para \( y = 13 \):
   - \( x = 2(13) - 4 = 26 - 4 = 22 \)
   - Pero 22 no pertenece a \( U \), por lo que este par no es parte de \( R \).

5. Para \( y = 16 \):
   - \( x = 2(16) - 4 = 32 - 4 = 28 \)
   - Pero 28 no pertenece a \( U \), por lo que este par no es parte de \( R \).

6. Para \( y = 19 \):
   - \( x = 2(19) - 4 = 38 - 4 = 34 \)
   - Pero 34 no pertenece a \( U \), por lo que este par no es parte de \( R \).

- La relación es \( R = \{(4, 4), (10, 7), (16, 10)\} \)

#### c. Dominio, codominio y rango:

- **Dominio:** Son los valores de \( x \) que aparecen en los pares ordenados de \( R \), es decir, \( \{4, 10, 16\} \).
- **Codominio:** Son los valores posibles de \( y \) que provienen del conjunto \( V \), es decir, \( \{4, 7, 10, 13, 16, 19\} \).
- **Rango:** Son los valores de \( y \) que aparecen en los pares ordenados de \( R \), es decir, \( \{4, 7, 10\} \).

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### Ejercicio 2

**Conjunto:**
- \( C = \{0, 1, 2, 3, 4, 15, 26\} \)
- Relación: \( R = \{(x, y) \mid y = x^3 - 1\} \)

#### a. Representación gráfica en el plano cartesiano:

- Para \( x = 0 \), \( y = 0^3 - 1 = -1 \)
- Para \( x = 1 \), \( y = 1^3 - 1 = 0 \)
- Para \( x = 2 \), \( y = 2^3 - 1 = 7 \)
- Para \( x = 3 \), \( y = 3^3 - 1 = 26 \)
- Para \( x = 4 \), \( y = 4^3 - 1 = 63 \)
- Para \( x = 15 \), \( y = 15^3 - 1 = 3374 \)
- Para \( x = 26 \), \( y = 26^3 - 1 = 17575 \)

Graficamos los puntos: \( (0, -1), (1, 0), (2, 7), (3, 26), (4, 63), (15, 3374), (26, 17575) \).

#### b. Matriz de relación:

La matriz de relación es una matriz de incidencia, donde se marca un 1 si existe relación entre \( x \) y \( y \), y un 0 en caso contrario.

#### c. Dígrafo:

Un dígrafo muestra las conexiones entre los elementos de \( C \) basándose en la relación dada.

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### Ejercicio 3

#### Relación binaria de equivalencia:

Una relación binaria \( R \) es de equivalencia si cumple con las propiedades de **reflexividad**, **simetría**, y **transitividad**.

Vamos a verificar si la relación “tallas de ropa” cumple con estas condiciones:

- **Reflexividad:** Cada talla es equivalente a sí misma. Esto se cumple, ya que cualquier prenda de talla \( T \) es de talla \( T \).
- **Simetría:** Si una prenda de talla \( T_1 \) es equivalente a una de talla \( T_2 \), entonces una prenda de talla \( T_2 \) es equivalente a una de talla \( T_1 \). Esto también se cumple.
- **Transitividad:** Si una prenda de talla \( T_1 \) es equivalente a una de talla \( T_2 \), y esta es equivalente a una de talla \( T_3 \), entonces una prenda de talla \( T_1 \) es equivalente a una de talla \( T_3 \). Esto también se cumple en este contexto.

Por lo tanto, la relación “tallas de ropa” es una relación de equivalencia.

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### Ejercicio 4

#### Concepto de función y su clasificación:

- **Inyectiva:** Una función es inyectiva si asigna elementos distintos del dominio a elementos distintos del codominio.
- **Sobreyectiva:** Una función es sobreyectiva si cada elemento del codominio tiene al menos una preimagen en el dominio.
- **Biyectiva:** Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Se puede utilizar un diagrama de Venn para ilustrar estos conceptos.

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¿Tienes alguna duda o necesitas más detalles sobre alguno de los pasos? 

Aquí te dejo algunas preguntas adicionales relacionadas con el tema:

1. ¿Cómo se define una relación binaria?
2. ¿Qué características debe tener un conjunto para formar parte del producto cartesiano?
3. ¿Cómo se puede verificar si una función es inyectiva?
4. ¿Cuál es la diferencia entre dominio y rango en una función?
5. ¿Qué otras aplicaciones tiene la teoría de relaciones en matemáticas?

**Tip:** Siempre que trabajes con funciones, es útil analizar primero su dominio y rango para comprender mejor su comportamiento.

resolver solo los ejercicios de la letra C y poner el paso a paso en una manera que sea humanizado

Detailed step-by-step solutions to the exercises of letter C from a discrete math activity, covering concepts like binary relations, Cartesian product, and function classification. Suitable for university-level mathematics students.

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