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Lass uns die Aussagen aus dem Bild Schritt für Schritt durchgehen und lösen.

### Aufgabe a)
**Behauptung**:  
"Haben zwei Funktionen eine gleiche Stammfunktion, dann sind sie gleich."

**Lösung**:  
Diese Aussage ist **falsch**. Wenn zwei Funktionen \( f(x) \) und \( g(x) \) die gleiche Stammfunktion \( F(x) \) haben, bedeutet das nur, dass die Ableitungen der beiden Funktionen gleich sind. Es könnte jedoch sein, dass sich \( f(x) \) und \( g(x) \) um eine Konstante \( C \) unterscheiden.  

Die allgemeine Form der Stammfunktion einer Funktion \( f(x) \) lautet \( F(x) + C \), wobei \( C \) eine beliebige Konstante ist. Daher könnten zwei verschiedene Funktionen, z.B. \( f(x) = x^2 + 1 \) und \( g(x) = x^2 + 3 \), dieselbe Stammfunktion \( F(x) = \frac{1}{3}x^3 \) besitzen, aber sie sind nicht identisch.

**Schlussfolgerung**:  
Die Behauptung ist falsch, da Funktionen mit der gleichen Stammfunktion sich um eine Konstante unterscheiden können.

---

### Aufgabe c)
**Behauptung**:  
"Eine Stammfunktion der Ableitungsfunktion \( f' \) von \( f \) entspricht immer der Funktion \( f \)."

**Lösung**:  
Diese Aussage ist **wahr**. Eine Stammfunktion der Ableitungsfunktion \( f'(x) \) ist per Definition \( f(x) \), da die Stammfunktion die Umkehrung der Ableitung ist. Das bedeutet, wenn du die Ableitung einer Funktion \( f(x) \) bildest und diese Ableitung dann wieder integrierst (die Stammfunktion bildest), erhältst du \( f(x) \) (plus eine Konstante).

**Schlussfolgerung**:  
Die Behauptung ist korrekt. Die Stammfunktion von \( f'(x) \) ist \( f(x) \), möglicherweise plus einer Konstanten \( C \).

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Möchtest du weitere Details oder hast du Fragen zu diesen Lösungen?

Hier sind fünf weiterführende Fragen, die auf diesen Themen aufbauen:
1. Was ist der Unterschied zwischen einer Funktion und ihrer Ableitungsfunktion?
2. Warum muss bei der Stammfunktion immer eine Integrationskonstante \( C \) hinzugefügt werden?
3. Welche Rolle spielt die Konstante \( C \) bei Stammfunktionen in realen Anwendungen?
4. Kannst du ein Beispiel für zwei Funktionen angeben, die dieselbe Ableitung haben, aber nicht gleich sind?
5. Wie verändert sich der Graph einer Funktion, wenn man eine Konstante zur Stammfunktion addiert?

**Tipp**: Beim Integrieren darfst du nie die Integrationskonstante vergessen, da das Ergebnis sonst unvollständig ist!

Löse a) und c) aus der angegebenen Aufgabe: 'Haben zwei Funktionen eine gleiche Stammfunktion, dann sind sie gleich.' und 'Eine Stammfunktion der Ableitungsfunktion von f entspricht immer der Funktion f.'

Diese Seite bietet detaillierte Lösungen zur Frage, ob zwei Funktionen mit derselben Stammfunktion gleich sind und ob die Stammfunktion der Ableitungsfunktion immer der Funktion selbst entspricht. Geeignet für Schüler der Klassen 10 bis 12.

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