. y = x + 2 , y = 1 , x = 1 , x = 3
con respecto al eje “x” solidos de revolución método de anillo

Para encontrar el volumen del sólido de revolución usando el método del anillo (o discos con hueco), necesitamos realizar la rotación de la región encerrada por las curvas y los límites indicados alrededor de un eje.

### Datos proporcionados:
- \( y = x + 2 \) (función a rotar)
- \( y = 1 \) (una línea que sirve como límite inferior)
- \( x = 1 \) y \( x = 3 \) (límites de integración en el eje \( x \))

Vamos a girar la región encerrada por estas curvas respecto al eje \( x \), utilizando el **método del anillo**. Este método implica considerar la diferencia de áreas entre un disco externo (formado por la función \( y = x + 2 \)) y un disco interno (formado por \( y = 1 \)).

### Volumen del sólido de revolución

La fórmula del volumen por el método de anillos es:

\[
V = \pi \int_{x_1}^{x_2} \left[ (R_{\text{externo}})^2 - (R_{\text{interno}})^2 \right] \, dx
\]

Donde:
- \( R_{\text{externo}} \) es la distancia desde el eje de rotación (en este caso, el eje \( x \)) hasta la curva \( y = x + 2 \), o sea \( R_{\text{externo}} = x + 2 \).
- \( R_{\text{interno}} \) es la distancia desde el eje de rotación hasta la línea \( y = 1 \), es decir, \( R_{\text{interno}} = 1 \).

### Cálculo del volumen

Sustituyendo en la fórmula:

\[
V = \pi \int_{1}^{3} \left[ (x + 2)^2 - (1)^2 \right] \, dx
\]

### Desarrollo de la integral

1. Primero, expandimos el término \( (x + 2)^2 \):
   \[
   (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4
   \]
2. Ahora, reemplazamos en la integral:
   \[
   V = \pi \int_{1}^{3} \left( x^2 + 4x + 4 - 1 \right) \, dx
   \]
   Simplificando:
   \[
   V = \pi \int_{1}^{3} \left( x^2 + 4x + 3 \right) \, dx
   \]

3. Ahora, integramos cada término por separado:
   \[
   \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int 4x \, dx = 2x^2, \quad \int 3 \, dx = 3x
   \]

4. Evaluamos la integral entre los límites \( x = 1 \) y \( x = 3 \):
   \[
   V = \pi \left[ \left( \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 3x \right) \Bigg|_1^3 \right]
   \]

5. Calculamos los valores en \( x = 3 \) y \( x = 1 \):
   - Para \( x = 3 \):
     \[
     \frac{3^3}{3} + 2(3^2) + 3(3) = \frac{27}{3} + 18 + 9 = 9 + 18 + 9 = 36
     \]
   - Para \( x = 1 \):
     \[
     \frac{1^3}{3} + 2(1^2) + 3(1) = \frac{1}{3} + 2 + 3 = \frac{1}{3} + 5 = \frac{16}{3}
     \]

6. Restamos los valores:
   \[
   V = \pi \left( 36 - \frac{16}{3} \right) = \pi \left( \frac{108}{3} - \frac{16}{3} \right) = \pi \left( \frac{92}{3} \right)
   \]

7. Finalmente, el volumen es:
   \[
   V = \frac{92\pi}{3} \, \text{unidades cúbicas}
   \]

### Resultado:
El volumen del sólido de revolución generado al rotar la región alrededor del eje \( x \) es:

\[
V = \frac{92\pi}{3} \, \text{unidades cúbicas}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

---

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo cambia el volumen si la región se rota respecto al eje \( y \)?
2. ¿Qué pasaría si el límite inferior fuera otra curva, como \( y = x \)?
3. ¿Cómo se aplicaría el método del cascarón cilíndrico en este mismo problema?
4. ¿Cómo influiría cambiar los límites de integración a \( x = 0 \) y \( x = 4 \)?
5. ¿Cómo se calcula el centro de masa de la región antes de la rotación?

**Tip:** El método del anillo es útil cuando el sólido tiene un hueco interno o una curva rota alrededor de un eje que no la atraviesa directamente.

y = x + 2, y = 1, x = 1, x = 3 con respecto al eje “x” sólidos de revolución método de anillo

Learn how to calculate the volume of a solid of revolution for the function y = x + 2, bounded by y = 1 and limits x = 1 to x = 3, using the washer method. This detailed solution includes step-by-step integration and application of calculus concepts. Suitable for advanced high school or college calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation