Q = ( 1/(√a-1) -1/√a) : [(√a +1) /(√a-2) - (√a +2)/(√a-1)] 
 a.Rút gọn Q với a > 0, a ≠ 4 và a ≠ 1.
b. Tìm giá trị của a để Q là một số dương.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau để rút gọn biểu thức \( Q \) và tìm giá trị của \( a \) để \( Q \) là một số dương.

**Cho biểu thức:**

\[
Q = \frac{1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{1}{\sqrt{a}} : \left( \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 2} - \frac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} - 1} \right)
\]

### Phần a: Rút gọn biểu thức \( Q \)

#### 1. Rút gọn tử số:
Tử số là:

\[
\frac{1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{1}{\sqrt{a}}
\]

Ta quy đồng và rút gọn:

\[
\frac{1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)}
\]

#### 2. Rút gọn mẫu số:
Mẫu số là:

\[
\frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 2} - \frac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} - 1}
\]

Quy đồng và trừ hai phân thức:

\[
\frac{(\sqrt{a} + 1)(\sqrt{a} - 1) - (\sqrt{a} + 2)(\sqrt{a} - 2)}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} - 1)}
\]

Khai triển và rút gọn:

\[
= \frac{(a - 1) - (a - 4)}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} - 1)} = \frac{3}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} - 1)}
\]

### Biểu thức rút gọn của \( Q \):

\[
Q = \frac{\frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)}}{\frac{3}{(\sqrt{a} - 2)(\sqrt{a} - 1)}} = \frac{1}{3\sqrt{a}(\sqrt{a} - 2)}
\]

### Phần b: Tìm \( a \) để \( Q > 0 \)

Vì \( Q > 0 \), điều kiện là mẫu số phải dương. Do đó:

\[
3\sqrt{a}(\sqrt{a} - 2) > 0
\]

Với \( \sqrt{a} > 0 \) và \( a > 4 \), biểu thức trên luôn dương.

Vậy giá trị của \( a \) để \( Q \) là số dương là \( a > 4 \).

---

Bạn có muốn giải thích chi tiết thêm hoặc có câu hỏi nào khác không?

**Câu hỏi mở rộng:**
1. Vì sao điều kiện \( a \neq 1 \) và \( a \neq 4 \) lại cần thiết trong bài toán này?
2. Khi nào thì phương pháp quy đồng để rút gọn biểu thức hữu ích?
3. Làm sao để xác định nhanh giá trị của \( a \) mà biểu thức vẫn có nghĩa?
4. Nếu \( a = 9 \), giá trị của \( Q \) là bao nhiêu?
5. Khi nào thì cần kiểm tra điều kiện của biến số trước khi rút gọn?

**Tip:** Khi rút gọn biểu thức phức tạp, kiểm tra các bước cẩn thận để tránh bỏ sót các điều kiện của biến số.

Learn how to simplify the expression (1/(√a-1) -1/√a) : [(√a +1) /(√a-2) - (√a +2)/(√a-1)] and find values of 'a' that make the expression positive. This problem involves rational expressions, square roots, and conditions for positivity.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation