	problem.  (Hint: please think carefully in determining the bounds)
Maximize 20x_1+12x_2+20x_3+7x_4
s.t.       4x_1+ 6x_2+  9x_3+2x_4≤12
x_i=0 or 1
（用汉语解题）

这是一个典型的 0-1 整数规划问题，我们的目标是最大化目标函数，同时满足给定的约束条件。

### 问题定义：
最大化：
\[ 20x_1 + 12x_2 + 20x_3 + 7x_4 \]

约束条件：
\[ 4x_1 + 6x_2 + 9x_3 + 2x_4 \leq 12 \]
且 \( x_i \) 是 0 或 1（即二进制变量）。

### 解题步骤：

1. **定义可能的解**：由于 \( x_1, x_2, x_3, x_4 \) 只能取 0 或 1，每个变量有两种选择，因此共有 \( 2^4 = 16 \) 种可能的解。我们可以列举所有可能的组合。

2. **计算满足约束条件的解**：我们需要找到满足约束条件 \( 4x_1 + 6x_2 + 9x_3 + 2x_4 \leq 12 \) 的变量组合。

3. **选择目标函数最大值的解**：在满足约束条件的解中，选择使目标函数 \( 20x_1 + 12x_2 + 20x_3 + 7x_4 \) 最大的解。

### 列举所有组合并计算：

- \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, 0, 0, 0) \)：
  - 约束条件：\( 4(0) + 6(0) + 9(0) + 2(0) = 0 \leq 12 \)
  - 目标函数值：\( 20(0) + 12(0) + 20(0) + 7(0) = 0 \)

- \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (1, 0, 0, 0) \)：
  - 约束条件：\( 4(1) + 6(0) + 9(0) + 2(0) = 4 \leq 12 \)
  - 目标函数值：\( 20(1) + 12(0) + 20(0) + 7(0) = 20 \)

- \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, 1, 0, 0) \)：
  - 约束条件：\( 4(0) + 6(1) + 9(0) + 2(0) = 6 \leq 12 \)
  - 目标函数值：\( 20(0) + 12(1) + 20(0) + 7(0) = 12 \)

- \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, 0, 1, 0) \)：
  - 约束条件：\( 4(0) + 6(0) + 9(1) + 2(0) = 9 \leq 12 \)
  - 目标函数值：\( 20(0) + 12(0) + 20(1) + 7(0) = 20 \)

- \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, 0, 0, 1) \)：
  - 约束条件：\( 4(0) + 6(0) + 9(0) + 2(1) = 2 \leq 12 \)
  - 目标函数值：\( 20(0) + 12(0) + 20(0) + 7(1) = 7 \)

- \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (1, 1, 0, 0) \)：
  - 约束条件：\( 4(1) + 6(1) + 9(0) + 2(0) = 10 \leq 12 \)
  - 目标函数值：\( 20(1) + 12(1) + 20(0) + 7(0) = 32 \)

- \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (1, 0, 1, 0) \)：
  - 约束条件：\( 4(1) + 6(0) + 9(1) + 2(0) = 13 \not\leq 12 \)
  - 目标函数值：无效

- \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (1, 0, 0, 1) \)：
  - 约束条件：\( 4(1) + 6(0) + 9(0) + 2(1) = 6 \leq 12 \)
  - 目标函数值：\( 20(1) + 12(0) + 20(0) + 7(1) = 27 \)

- \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, 1, 1, 0) \)：
  - 约束条件：\( 4(0) + 6(1) + 9(1) + 2(0) = 15 \not\leq 12 \)
  - 目标函数值：无效

- \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, 1, 0, 1) \)：
  - 约束条件：\( 4(0) + 6(1) + 9(0) + 2(1) = 8 \leq 12 \)
  - 目标函数值：\( 20(0) + 12(1) + 20(0) + 7(1) = 19 \)

- \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, 0, 1, 1) \)：
  - 约束条件：\( 4(0) + 6(0) + 9(1) + 2(1) = 11 \leq 12 \)
  - 目标函数值：\( 20(0) + 12(0) + 20(1) + 7(1) = 27 \)

- \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (1, 1, 1, 0) \)：
  - 约束条件：\( 4(1) + 6(1) + 9(1) + 2(0) = 19 \not\leq 12 \)
  - 目标函数值：无效

- \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (1, 1, 0, 1) \)：
  - 约束条件：\( 4(1) + 6(1) + 9(0) + 2(1) = 12 \leq 12 \)
  - 目标函数值：\( 20(1) + 12(1) + 20(0) + 7(1) = 39 \)

- \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (1, 0, 1, 1) \)：
  - 约束条件：\( 4(1) + 6(0) + 9(1) + 2(1) = 15 \not\leq 12 \)
  - 目标函数值：无效

- \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (0, 1, 1, 1) \)：
  - 约束条件：\( 4(0) + 6(1) + 9(1) + 2(1) = 17 \not\leq 12 \)
  - 目标函数值：无效

- \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (1, 1, 1, 1) \)：
  - 约束条件：\( 4(1) + 6(1) + 9(1) + 2(1) = 21 \not\leq 12 \)
  - 目标函数值：无效

### 最优解：
- 满足约束条件且目标函数最大的解为 \( (x_1, x_2, x_3, x_4) = (1, 1, 0, 1) \)，此时目标函数的最大值为 **39**。

希望这个过程帮助你理解解题步骤！如果有任何问题，或者想要更详细的解释，请告诉

Explore a 0-1 integer programming problem aimed at maximizing the objective function 20x₁ + 12x₂ + 20x₃ + 7x₄ subject to the constraint 4x₁ + 6x₂ + 9x₃ + 2x₄ ≤ 12. Learn how to solve this problem with detailed examples and step-by-step solutions.

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