resolver las restas y/o cocientes de infinitos dados a continuación:
\lim_{x\to{\infty}}{\frac{\left(x^{2}-2\,x\right)^{2}}{\ln\left(x^{2}-1\right)}}

El límite dado es:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 - 2x)^2}{\ln(x^2 - 1)}
\]

### Paso 1: Simplificación de la expresión en el numerador
El numerador es \((x^2 - 2x)^2\), que podemos expandir como:

\[
(x^2 - 2x)^2 = (x^2)^2 - 2(x^2)(2x) + (2x)^2 = x^4 - 4x^3 + 4x^2
\]

Por lo tanto, la expresión original se convierte en:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x^4 - 4x^3 + 4x^2}{\ln(x^2 - 1)}
\]

### Paso 2: Comportamiento asintótico de \(\ln(x^2 - 1)\)
Cuando \(x \to \infty\), podemos aproximar \(\ln(x^2 - 1)\) usando la propiedad logarítmica \(\ln(a - b) \approx \ln(a)\) para grandes \(a\). En este caso:

\[
\ln(x^2 - 1) \approx \ln(x^2) = 2\ln(x)
\]

### Paso 3: Evaluar el límite
Reescribimos el límite como:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x^4 - 4x^3 + 4x^2}{2\ln(x)}
\]

A medida que \(x \to \infty\), el término dominante en el numerador es \(x^4\) y en el denominador es \(\ln(x)\). Comparando las tasas de crecimiento, \(x^4\) crece mucho más rápido que \(\ln(x)\). Por lo tanto, podemos concluir que:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x^4 - 4x^3 + 4x^2}{2\ln(x)} = \infty
\]

### Conclusión
El límite es infinito:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 - 2x)^2}{\ln(x^2 - 1)} = \infty
\]

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el comportamiento de \(\ln(x)\) en otros límites?
2. ¿Cómo se expande un polinomio al cuadrado?
3. ¿Cómo se comparan diferentes funciones asintóticamente?
4. ¿Cómo resolver límites que incluyan cocientes de funciones logarítmicas y polinómicas?
5. ¿Qué otros métodos se pueden usar para resolver este tipo de límites?

**Tip:** En muchos límites, identificar el término dominante puede simplificar mucho los cálculos.

This problem explores the limit of (x^2 - 2x)^2 divided by ln(x^2 - 1) as x approaches infinity. The solution uses polynomial expansion, logarithmic approximation, and growth comparison techniques, making it suitable for Calculus students. Learn how to simplify expressions and evaluate the limit for x approaching infinity.

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