Seja 𝑟 um número real maior do que 1. 
Sabe-se que 𝑟 é a razão de uma progressão geométrica de termos positivos.
Sabe-se ainda que, de dois termos consecutivos dessa progressão, a sua soma 
é igual a 12 e a diferença entre o maior e o menor é igual a 3.
Determine o valor de 𝑟

Seja uma progressão geométrica (PG) com termos positivos e razão \( r \), onde \( r > 1 \). Sabemos que, para dois termos consecutivos dessa PG, suas soma é igual a 12 e a diferença entre o maior e o menor é igual a 3.

Vamos denotar os dois termos consecutivos como \( a \) e \( ar \), onde \( a \) é o primeiro termo e \( ar \) é o segundo.

### Informações fornecidas:

1. A soma dos dois termos é 12:
\[
a + ar = 12
\]

2. A diferença entre o maior e o menor é 3:
\[
ar - a = 3
\]

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas. Vamos resolver o sistema.

### Passo 1: Resolver o sistema
Vamos começar resolvendo a segunda equação para \( a \):

\[
ar - a = 3
\]

Fatoramos \( a \) no lado esquerdo:
\[
a(r - 1) = 3
\]

Isolando \( a \):
\[
a = \frac{3}{r - 1}
\]

### Passo 2: Substituir \( a \) na primeira equação
Agora, substituímos \( a = \frac{3}{r - 1} \) na primeira equação:
\[
\frac{3}{r - 1} + \frac{3}{r - 1} \cdot r = 12
\]

Simplificando:
\[
\frac{3}{r - 1} \left( 1 + r \right) = 12
\]

Agora, simplificamos a equação:
\[
\frac{3(1 + r)}{r - 1} = 12
\]

Multiplicamos ambos os lados por \( r - 1 \):
\[
3(1 + r) = 12(r - 1)
\]

Expandindo ambos os lados:
\[
3 + 3r = 12r - 12
\]

Agora, isolamos \( r \) em um lado da equação:
\[
3 + 12 = 12r - 3r
\]

\[
15 = 9r
\]

Isolando \( r \):
\[
r = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}
\]

### Resposta:
O valor da razão \( r \) é \( \frac{5}{3} \).

---

Gostaria de ver mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas:

1. Como podemos testar se a solução \( r = \frac{5}{3} \) está correta?
2. Como a fórmula da progressão geométrica muda com três termos consecutivos?
3. Como resolveríamos o problema se os termos fossem negativos?
4. O que aconteceria se a razão \( r \) fosse igual a 1?
5. Como podemos generalizar esse problema para outras equações de soma e diferença?

**Dica**: Sempre verifique se a solução satisfaz todas as equações fornecidas no problema.

Seja 𝑟 um número real maior do que 1. Sabe-se que 𝑟 é a razão de uma progressão geométrica de termos positivos. Sabe-se ainda que, de dois termos consecutivos dessa progressão, a sua soma é igual a 12 e a diferença entre o maior e o menor é igual a 3. Determine o valor de 𝑟.

Determine the common ratio of a geometric progression where the sum of two consecutive terms is 12 and their difference is 3. Explore this problem using algebraic techniques, properties of geometric progressions, and solving systems of equations. Ideal for students in Grades 10-12.

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