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En la imagen se observa el problema 24 de un examen, que trata sobre una progresión geométrica con razón constante \(k\). El enunciado principal es el siguiente:

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**Problema 24:**
Sea el siguiente conjunto de razones geométricas equivalentes con constante igual a \( k \):
\[
\frac{q_1}{q_2} = \frac{q_2}{q_3} = \cdots = \frac{q_n}{q_{n+1}} = k
\]
Si \(q_3 = 125q_6\), calcule el valor de \( k \).

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### Solución paso a paso:

1. **Entender la relación entre términos en una progresión geométrica:**
   En una progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicando el anterior por la constante \( k \). Esto significa que:
   \[
   q_2 = q_1 \cdot k, \quad q_3 = q_2 \cdot k = q_1 \cdot k^2, \quad \dots, \quad q_n = q_1 \cdot k^{n-1}
   \]

2. **Condición dada en el problema:**
   El problema nos da la siguiente relación entre el tercer término \(q_3\) y el sexto término \(q_6\):
   \[
   q_3 = 125 \cdot q_6
   \]
   Sabemos que \( q_3 = q_1 \cdot k^2 \) y \( q_6 = q_1 \cdot k^5 \). Entonces, sustituimos estos valores en la ecuación dada:
   \[
   q_1 \cdot k^2 = 125 \cdot (q_1 \cdot k^5)
   \]
   Como \( q_1 \) está presente en ambos lados, podemos cancelarlo:
   \[
   k^2 = 125 \cdot k^5
   \]
   Ahora despejamos para \(k\).

3. **Resolviendo para \(k\):**
   Dividimos ambos lados de la ecuación por \( k^2 \) (asumiendo \( k \neq 0 \)):
   \[
   1 = 125 \cdot k^3
   \]
   Luego, dividimos ambos lados por 125:
   \[
   \frac{1}{125} = k^3
   \]
   Finalmente, sacamos la raíz cúbica de ambos lados:
   \[
   k = \frac{1}{5}
   \]

4. **Respuesta final:**
   El valor de \( k \) es \( \frac{1}{5} \).

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La respuesta correcta sería diferente de las opciones mostradas (en la imagen, la opción B es \(1.5\), pero no es correcto según el proceso). Si hay un error en las opciones del examen, esto podría ser la causa. Aun así, según los cálculos detallados, el valor correcto de \(k\) es \( \frac{1}{5} \).

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas que pueden ayudarte a profundizar más en el tema:

1. ¿Qué es una progresión geométrica y cómo se distingue de una progresión aritmética?
2. ¿Qué significa la "razón común" en una progresión geométrica y cómo afecta los términos sucesivos?
3. ¿Cómo se resuelven ecuaciones que involucran potencias, como en este ejemplo?
4. ¿Cómo se aplican las propiedades de las progresiones geométricas en problemas de la vida real?
5. ¿Por qué es importante asegurarse de que la constante \(k\) no sea cero en este tipo de progresiones?

**Tip:** Siempre que trabajes con progresiones geométricas, recuerda que cada término depende de la razón \(k\), lo cual facilita el cálculo de términos lejanos sin necesidad de conocer todos los intermedios.

This problem covers the concept of geometric progressions, including the calculation of the constant ratio k. Learn how to approach a problem where q_3 = 125 * q_6, and calculate the value of k step by step. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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