(4 puntos) Cuando un alumno enfrenta un problema se incrementa la probabilidad de cometer errores
a medida que demora m´as en encontrar la soluci´on. Suponga que T es el tiempo en minutos que le
toma al alumno desarrollar, el cual se comporta de acuerdo a una variable aleatoria Gamma(k, ν),
mientras que el n´umero de errores que se cometen en un minuto distribuye Poisson(1/ν).
iv) (2 puntos) Determine la distribuci´on del tiempo T dado que cometieron k errores durante el
desarrollo.

Dado el problema, tenemos que el tiempo \( T \) sigue una distribución Gamma con parámetros \( k \) y \( \nu \), y el número de errores en un minuto sigue una distribución Poisson con parámetro \( \frac{1}{\nu} \).

La tarea es determinar la distribución del tiempo \( T \) dado que se cometieron \( k \) errores durante el desarrollo.

Primero, notemos que si el número total de errores sigue una distribución de Poisson con un parámetro que depende del tiempo, podemos modelar la cantidad total de errores \( N(T) \) como una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson con parámetro \( \lambda T \), donde \( \lambda = \frac{1}{\nu} \).

Dado que \( T \) sigue una distribución Gamma\( (k, \nu) \), la función de densidad de probabilidad de \( T \) es:

\[
f_T(t) = \frac{t^{k-1} e^{-t/\nu}}{\nu^k \Gamma(k)}, \quad t > 0
\]

Por otro lado, la probabilidad de observar \( k \) errores dados \( T = t \) es:

\[
P(N(t) = k \mid T = t) = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!} = \frac{(t/\nu)^k e^{-t/\nu}}{k!}
\]

Ahora, la distribución conjunta de \( T \) y \( N(T) \) es:

\[
f_{T,N(T)}(t, k) = f_T(t) \cdot P(N(t) = k \mid T = t)
\]

Por lo tanto, la función de densidad conjunta es:

\[
f_{T,N(T)}(t, k) = \frac{t^{k-1} e^{-t/\nu}}{\nu^k \Gamma(k)} \cdot \frac{(t/\nu)^k e^{-t/\nu}}{k!}
\]

Simplificando, obtenemos:

\[
f_{T,N(T)}(t, k) = \frac{t^{k-1} e^{-t/\nu}}{\nu^k \Gamma(k)} \cdot \frac{t^k e^{-t/\nu}}{k! \nu^k}
= \frac{t^{2k-1} e^{-2t/\nu}}{\nu^{2k} k! \Gamma(k)}
\]

Para obtener la distribución de \( T \) dado que se han cometido \( k \) errores, necesitamos la distribución condicional:

\[
f_{T|N(T)}(t \mid k) = \frac{f_{T,N(T)}(t, k)}{P(N(T) = k)}
\]

Dado que la distribución marginal de \( N(T) = k \) para \( T \) Gamma \( (k, \nu) \) sigue una distribución de Poisson-Gamma, podemos concluir que:

\[
f_{T|N(T)}(t \mid k) \propto t^{2k-1} e^{-2t/\nu}
\]

Esto es la función de densidad de una distribución Gamma con parámetros \( 2k \) y \( \frac{\nu}{2} \). Por lo tanto, la distribución del tiempo \( T \) dado que se han cometido \( k \) errores es:

\[
T \mid (N(T) = k) \sim \text{Gamma}\left(2k, \frac{\nu}{2}\right)
\]

### ¿Tienes alguna pregunta sobre el proceso o quieres más detalles?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se deriva la distribución de Poisson-Gamma y en qué contextos se aplica?
2. ¿Cuál es la interpretación de los parámetros de una distribución Gamma?
3. ¿Qué otras distribuciones se pueden modelar a partir de combinaciones de Poisson y Gamma?
4. ¿Cómo afecta el parámetro \( \nu \) la cantidad esperada de errores cometidos?
5. ¿Cuál sería el impacto de incrementar \( k \) en la distribución condicional de \( T \)?

### Tip:
Recuerda que la distribución Gamma es útil para modelar tiempos de espera hasta que ocurran un número específico de eventos en un proceso de Poisson.

Explore the distribution of time T given k errors in problem-solving scenarios using Gamma and Poisson distributions. Understand how these distributions interact and their implications in probabilistic modeling.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation