puedes resolver este ejercicio de derivada con la regla de 4 :
x³-2x²+4x-1

Claro, puedo ayudarte a aplicar la **Regla de los 4 pasos** para derivar la función \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 1 \).

### Paso 1: Evaluar \( f(x+h) \)
Tenemos que reemplazar \( x \) por \( x + h \) en la función original:

\[
f(x + h) = (x + h)^3 - 2(x + h)^2 + 4(x + h) - 1
\]

Ahora expandimos cada término:

- \( (x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 \)
- \( (x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2 \)

Sustituyendo estos resultados en la función:

\[
f(x + h) = (x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - 2(x^2 + 2xh + h^2) + 4(x + h) - 1
\]

Simplificamos:

\[
f(x + h) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 2x^2 - 4xh - 2h^2 + 4x + 4h - 1
\]

### Paso 2: Restar \( f(x) \) de \( f(x + h) \)

Recordemos que \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 1 \). Restamos \( f(x) \) de \( f(x+h) \):

\[
f(x+h) - f(x) = (x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 2x^2 - 4xh - 2h^2 + 4x + 4h - 1) - (x^3 - 2x^2 + 4x - 1)
\]

Al simplificar:

\[
f(x+h) - f(x) = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 4xh - 2h^2 + 4h
\]

### Paso 3: Dividir por \( h \)

Ahora, dividimos la expresión obtenida en el paso anterior por \( h \):

\[
\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 4xh - 2h^2 + 4h}{h}
\]

Simplificamos cada término:

\[
\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2 - 4x - 2h + 4
\]

### Paso 4: Tomar el límite cuando \( h \to 0 \)

Finalmente, tomamos el límite cuando \( h \to 0 \) para obtener la derivada:

\[
\lim_{h \to 0} \left( 3x^2 + 3xh + h^2 - 4x - 2h + 4 \right) = 3x^2 - 4x + 4
\]

### Resultado final:

La derivada de \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 4x - 1 \) es:

\[
f'(x) = 3x^2 - 4x + 4
\]

¿Tienes alguna duda o te gustaría más detalles? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se expanden polinomios como \( (x+h)^n \)?
2. ¿Qué otros métodos de derivación existen además de la regla de 4 pasos?
3. ¿Qué sucede si olvidamos simplificar después de restar \( f(x) \)?
4. ¿Por qué es importante el límite en el cálculo de derivadas?
5. ¿Cuándo se usa la derivada en problemas de optimización?

**Tip:** La derivada mide la tasa de cambio instantánea de una función; piensa en ella como la pendiente de la curva en un punto específico.

puedes resolver este ejercicio de derivada con la regla de 4 : x³-2x²+4x-1

Learn how to derive the polynomial function x³-2x²+4x-1 using the 4-Step Rule. This solution walks through evaluating f(x+h), subtracting f(x), dividing by h, and taking the limit as h approaches 0. Ideal for high school calculus students.

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