O semicírculo maior tem raio R, o segundo maior tem raio 
medindo um terço do raio do semicírculo anterior, o raio do 
terceiro semicírculo é um terço do raio do anterior e assim 
por diante. Se esse processo de construção continuar 
indefinidamente, qual será o comprimento da figura 
formada? 

Vamos analisar o problema passo a passo.

1. **Raio dos semicírculos**:
   - O raio do primeiro semicírculo é \( R \).
   - O raio do segundo semicírculo é \( \frac{R}{3} \).
   - O raio do terceiro semicírculo é \( \frac{R}{3^2} \), e assim por diante.

   O raio do \( n \)-ésimo semicírculo é \( \frac{R}{3^{n-1}} \).

2. **Comprimento de um semicírculo**:
   O comprimento de um semicírculo é dado por \( \text{comprimento} = \pi \times \text{raio} \).

   Então, o comprimento do \( n \)-ésimo semicírculo é:
   \[
   C_n = \pi \times \frac{R}{3^{n-1}}
   \]

3. **Comprimento total da figura**:
   Para obter o comprimento total da figura formada por todos os semicírculos, somamos os comprimentos de todos os semicírculos:

   \[
   C_{\text{total}} = \sum_{n=1}^{\infty} C_n = \sum_{n=1}^{\infty} \pi \times \frac{R}{3^{n-1}}
   \]

   \[
   C_{\text{total}} = \pi R \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n-1}}
   \]

4. **Soma da série geométrica**:
   A soma da série geométrica infinita \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n-1}} \) pode ser calculada usando a fórmula para a soma de uma série geométrica:

   \[
   \text{Soma} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}
   \]

   Assim, o comprimento total é:

   \[
   C_{\text{total}} = \pi R \times \frac{3}{2} = \frac{3\pi R}{2}
   \]

Portanto, o comprimento total da figura formada é \( \frac{3\pi R}{2} \).

Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas para expandir o conceito:
1. Como calcular o comprimento total se os semicírculos fossem substituídos por círculos completos?
2. Qual seria a área total da figura formada pelos semicírculos?
3. Como o resultado seria afetado se o fator de escala dos raios fosse diferente de 1/3?
4. Como você aplicaria essa série geométrica em outros contextos matemáticos?
5. Como você desenharia essa figura para melhor visualização?

**Dica**: Séries geométricas são comuns em problemas de somas infinitas, especialmente quando se trata de decrescimento exponencial ou padrões repetitivos.

Explore how to calculate the total length of an infinite figure formed by semicircles with radii decreasing according to a specific pattern. This problem involves understanding geometric series and their application to infinite sums.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation