GegebenistdieKurveinParameterform γ(t)= t3+t t2−t−2 . □ b)WelchenWinkelbildetdieTangenteimPunktP1(−2|0)mitderx-Achse?

Um den Winkel zu berechnen, den die Tangente an der Kurve \(\gamma(t)\) im Punkt \(P_1(-2|0)\) mit der x-Achse bildet, gehen wir wie folgt vor:

1. **Bestimmen Sie die Parameterdarstellung der Kurve:**
   \[
   \gamma(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t^3 + t \\ t^2 - t - 2 \end{pmatrix}
   \]

2. **Bestimmen Sie die Ableitungen von \(x(t)\) und \(y(t)\):**
   \[
   x(t) = t^3 + t \implies x'(t) = 3t^2 + 1
   \]
   \[
   y(t) = t^2 - t - 2 \implies y'(t) = 2t - 1
   \]

3. **Finden Sie den Wert von \(t\) für den Punkt \(P_1(-2|0)\):**
   Setzen Sie \(x(t) = -2\) und \(y(t) = 0\):
   \[
   t^3 + t = -2
   \]
   \[
   t^2 - t - 2 = 0
   \]

   Die quadratische Gleichung \(t^2 - t - 2 = 0\) kann wie folgt gelöst werden:
   \[
   t^2 - t - 2 = (t - 2)(t + 1) = 0
   \]
   \[
   t = 2 \quad \text{oder} \quad t = -1
   \]

   Überprüfen Sie die Werte von \(t\) in der Gleichung \(t^3 + t = -2\):
   \[
   \text{Für } t = -1: (-1)^3 + (-1) = -1 - 1 = -2 \quad (\text{Erfüllt die Gleichung})
   \]

   Also ist \(t = -1\).

4. **Berechnen Sie die Ableitungen \(x'(t)\) und \(y'(t)\) bei \(t = -1\):**
   \[
   x'(-1) = 3(-1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4
   \]
   \[
   y'(-1) = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3
   \]

5. **Berechnen Sie die Steigung der Tangente:**
   \[
   \text{Steigung} = \frac{dy}{dx} = \frac{y'(-1)}{x'(-1)} = \frac{-3}{4}
   \]

6. **Berechnen Sie den Winkel \(\theta\) zwischen der Tangente und der x-Achse:**
   \[
   \tan(\theta) = \frac{dy}{dx} = \frac{-3}{4}
   \]
   \[
   \theta = \arctan\left(\frac{-3}{4}\right)
   \]

   Verwenden Sie einen Taschenrechner oder eine Tabelle, um \(\theta\) zu berechnen:
   \[
   \theta \approx -36.87^\circ
   \]

   Der Winkel, den die Tangente im Punkt \(P_1(-2|0)\) mit der x-Achse bildet, beträgt ungefähr \(-36.87^\circ\).

Möchten Sie Details oder haben Sie Fragen? Hier sind fünf weitere Fragen, die Sie stellen könnten:
1. Wie finde ich die Parameterdarstellung einer anderen Kurve?
2. Wie berechnet man die Ableitungen von Funktionen?
3. Wie löse ich eine quadratische Gleichung?
4. Wie berechne ich den Winkel zwischen zwei Vektoren?
5. Was ist der Unterschied zwischen einer Tangente und einer Sekante?

**Tipp:** Beim Berechnen von Winkeln zwischen Tangenten und der x-Achse ist es hilfreich, sich an die Definition der Ableitungen und der Tangentensteigung zu erinnern.

Learn how to calculate the angle formed between the tangent line to the parametric curve γ(t) = t³ + t, t² - t - 2 at point P₁(-2|0) and the x-axis. Detailed step-by-step solution involving parametric equations, derivatives, and trigonometry. Suitable for university-level mathematics.

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