ABC est un triangle tel que AB= 5cm, AC= 6cm BC=4cm D est le millieu de BC E est le point de AB tel que BDE=BAC. Calculez les longueur BE et DE

Pour résoudre ce problème, nous devons utiliser plusieurs concepts géométriques, notamment la règle du cosinus, les propriétés des triangles et la symétrie dans le triangle.

### Étape 1 : Utilisation des informations du triangle

On sait que dans le triangle ABC, nous avons les longueurs suivantes :
- \( AB = 5 \, \text{cm} \)
- \( AC = 6 \, \text{cm} \)
- \( BC = 4 \, \text{cm} \)

D est le milieu de BC, donc \( BD = DC = 2 \, \text{cm} \).

### Étape 2 : Utilisation de l'angle \( \widehat{BDE} = \widehat{BAC} \)

L'une des clés de ce problème est que l'angle \( \widehat{BDE} = \widehat{BAC} \). Cela signifie que les triangles \( BDE \) et \( BAC \) sont semblables (par égalité d'angles). Cela implique que les rapports des côtés correspondants sont égaux.

### Étape 3 : Calcul des angles avec la règle du cosinus

Nous devons d'abord trouver l'angle \( \widehat{BAC} \) en utilisant la loi des cosinus dans le triangle ABC.

La règle du cosinus pour \( \widehat{BAC} \) est donnée par :
\[
\cos(\widehat{BAC}) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}
\]
Substituons les valeurs :
\[
\cos(\widehat{BAC}) = \frac{5^2 + 6^2 - 4^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{25 + 36 - 16}{60} = \frac{45}{60} = 0.75
\]
Donc, \( \widehat{BAC} = \arccos(0.75) \).

### Étape 4 : Application des rapports de similitude

Comme les triangles \( BDE \) et \( BAC \) sont semblables, les rapports des longueurs des côtés sont égaux :
\[
\frac{BE}{BA} = \frac{DE}{AC} = \frac{BD}{BC}
\]
Nous connaissons \( BD = 2 \, \text{cm} \) et \( BC = 4 \, \text{cm} \), donc :
\[
\frac{BD}{BC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]
Cela implique que :
\[
\frac{BE}{BA} = \frac{1}{2}
\]
Ainsi, \( BE = \frac{1}{2} \times 5 = 2.5 \, \text{cm} \).

### Étape 5 : Calcul de DE

De même, \( \frac{DE}{AC} = \frac{1}{2} \), donc :
\[
DE = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \, \text{cm}
\]

### Conclusion

Les longueurs recherchées sont :
- \( BE = 2.5 \, \text{cm} \)
- \( DE = 3 \, \text{cm} \)

---

Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions supplémentaires ?  

Voici 5 questions supplémentaires pour approfondir :
1. Comment fonctionne exactement la règle du cosinus ?
2. Pourquoi les triangles semblables nous permettent-ils de déduire des rapports de longueurs ?
3. Quelle est l'importance de connaître l'angle \( \widehat{BAC} \) dans ce problème ?
4. Comment les milieux des côtés influencent-ils les calculs dans les triangles ?
5. Comment utiliser la loi des sinus dans des situations similaires ?

**Astuce :** Lors de la résolution de problèmes avec des triangles, identifier les similitudes peut souvent simplifier considérablement les calculs.

ABC est un triangle tel que AB= 5cm, AC= 6cm BC=4cm D est le milieu de BC E est le point de AB tel que BDE=BAC. Calculez les longueurs BE et DE.

Solve the problem involving triangle ABC with sides AB = 5 cm, AC = 6 cm, and BC = 4 cm. Use the cosine rule to find the angle BAC, apply triangle similarity to find the lengths of BE and DE. This problem is suitable for students in Grades 9-11.

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