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Die Aufgabe lautet: Die Funktion \( F \) ist eine Stammfunktion der Funktion \( f \). Geben Sie einen möglichen Wert für \( a \) an.

**Lösung:**

Um \( a \) zu bestimmen, leiten wir die Funktion \( F(x) \) ab und vergleichen diese mit \( f(x) \).

### a) 
\( f(x) = 3x^2; \ F(x) = x^a \)

Ableitung von \( F(x) \):
\[
F'(x) = a \cdot x^{a-1}
\]

Vergleich mit \( f(x) \):
\[
a \cdot x^{a-1} = 3x^2
\]

Das bedeutet:
1. \( a - 1 = 2 \implies a = 3 \).
2. Der Wert von \( a \) ist also \( a = 3 \).

### b)
\( f(x) = 2x; \ F(x) = x^2 - a \)

Ableitung von \( F(x) \):
\[
F'(x) = 2x
\]

Vergleich mit \( f(x) \):
\[
2x = 2x
\]

In diesem Fall hat \( a \) keinen Einfluss auf die Ableitung. Daher ist \( a \) ein beliebiger Wert.

### c)
\( f(x) = 4x^3; \ F(x) = x^4 + 1 + a \)

Ableitung von \( F(x) \):
\[
F'(x) = 4x^3
\]

Vergleich mit \( f(x) \):
\[
4x^3 = 4x^3
\]

Auch hier hat \( a \) keinen Einfluss auf die Ableitung. Somit ist \( a \) beliebig.

### d)
\( f(x) = (a + 1) \cdot x; \ F(x) = x^{a+1} \)

Ableitung von \( F(x) \):
\[
F'(x) = (a + 1) \cdot x^a
\]

Vergleich mit \( f(x) \):
\[
(a + 1) \cdot x = (a + 1) \cdot x^1
\]

Hier muss \( a = 1 \) sein, damit beide Seiten übereinstimmen. 

**Zusammenfassung:**
- a) \( a = 3 \)
- b) \( a \) beliebig
- c) \( a \) beliebig
- d) \( a = 1 \)

Möchtest du weitere Details zu den Ableitungen oder hast du Fragen dazu?

**Weitere Fragen:**
1. Wie bestimmt man die Ableitung einer Funktion \( F(x) \)?
2. Was ist der Unterschied zwischen einer Funktion und ihrer Stammfunktion?
3. Warum spielt der Wert von \( a \) in einigen Fällen keine Rolle bei der Ableitung?
4. Kann \( a \) in b) und c) jede beliebige Zahl sein?
5. Wie kann man die Gültigkeit der bestimmten Werte für \( a \) überprüfen?

**Tipp:** Prüfe immer die Ableitung der Stammfunktion, um sicherzustellen, dass sie mit der ursprünglichen Funktion \( f(x) \) übereinstimmt.

Die Funktion F ist eine Stammfunktion der Funktion f. Geben Sie einen möglichen Wert für a an.

Lernen Sie, wie man den Wert von a für eine Stammfunktion F(x) einer gegebenen Funktion f(x) bestimmt. Dieses Problem behandelt Schlüsselkonzepte der Integralrechnung und den Fundamentalsatz der Analysis, geeignet für Schüler der Klassenstufen 11-13.

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