2 - O departamento pessoal de uma certa firma fez
um levantamento dos sal ́arios dos 120 funcion ́arios
do setor administrativo, obtendo os resultados (em
sal ́arios m ́ınimos) da tabela abaixo.
Faixa Salarial Frequˆencia Relativa
0 ⊢ 2 0, 25
2 ⊢ 4 0, 40
4 ⊢ 6 0, 20
6 ⊢ 10 0, 15
(a) Esboce o histograma correspondente.

(b) Calcule a m ́edia, o segundo e o terceiro quartil.
(c) Se for concedido um aumento de 100% para
todos os 120 funcion ́arios, haver ́a altera ̧c ̃ao na
m ́edia e na variˆancia? Justifique sua resposta.
(d) Se for concedido um abono de dois sal ́arios
m ́ınimos para todos os 120 funcion ́arios, haver ́a
altera ̧c ̃ao na m ́edia e na variˆancia? Justifique
sua resposta.

Vamos resolver as questões fornecidas passo a passo.

### (a) Esboce o histograma correspondente.

Para esboçar o histograma, usamos as faixas salariais e suas frequências relativas. Os intervalos das faixas salariais são: \(0 \text{ a } 2\), \(2 \text{ a } 4\), \(4 \text{ a } 6\), \(6 \text{ a } 10\). As frequências relativas são: 0,25, 0,40, 0,20 e 0,15 respectivamente.

### (b) Calcule a média, o segundo e o terceiro quartil.

Para calcular a média, usamos a fórmula:

\[
\text{Média} = \sum (x_i \cdot f_i)
\]

Onde \(x_i\) é o ponto médio de cada intervalo e \(f_i\) é a frequência relativa.

Os pontos médios (\(x_i\)) são:
- Para \(0 \text{ a } 2\): \(1\)
- Para \(2 \text{ a } 4\): \(3\)
- Para \(4 \text{ a } 6\): \(5\)
- Para \(6 \text{ a } 10\): \(8\)

Assim, a média é:
\[
\text{Média} = (1 \cdot 0,25) + (3 \cdot 0,40) + (5 \cdot 0,20) + (8 \cdot 0,15) = 0,25 + 1,2 + 1 + 1,2 = 3,65
\]

Para encontrar os quartis, primeiro precisamos das frequências acumuladas:

\[
\begin{align*}
0 \text{ a } 2 & : 0,25 \\
2 \text{ a } 4 & : 0,25 + 0,40 = 0,65 \\
4 \text{ a } 6 & : 0,65 + 0,20 = 0,85 \\
6 \text{ a } 10 & : 0,85 + 0,15 = 1,00 \\
\end{align*}
\]

Para o segundo quartil (mediana) e o terceiro quartil, observamos as frequências acumuladas:
- O segundo quartil (mediana) está no intervalo \(2 \text{ a } 4\) (pois 0,25 < 0,50 < 0,65)
- O terceiro quartil está no intervalo \(4 \text{ a } 6\) (pois 0,65 < 0,75 < 0,85)

Usando interpolação linear:

Para o segundo quartil:
\[
Q2 = 2 + \left(\frac{0,50 - 0,25}{0,40}\right) \cdot (4 - 2) = 2 + \left(\frac{0,25}{0,40}\right) \cdot 2 = 2 + 1,25 = 3,25
\]

Para o terceiro quartil:
\[
Q3 = 4 + \left(\frac{0,75 - 0,65}{0,20}\right) \cdot (6 - 4) = 4 + \left(\frac{0,10}{0,20}\right) \cdot 2 = 4 + 1 = 5
\]

### (c) Aumento de 100% para todos os funcionários

Se todos os salários aumentarem em 100%, a média e a variância se alteram.

- A nova média será o dobro da média atual (pois todos os valores são multiplicados por 2):
\[
\text{Nova Média} = 2 \cdot 3,65 = 7,30
\]

- A variância será multiplicada pelo quadrado do fator de aumento:
\[
\text{Nova Variância} = (2^2) \cdot \text{Variância Atual}
\]

### (d) Abono de dois salários mínimos para todos os funcionários

Se todos os funcionários receberem um abono de dois salários mínimos, a média e a variância se alteram.

- A nova média será a média atual mais 2:
\[
\text{Nova Média} = 3,65 + 2 = 5,65
\]

- A variância não se altera, pois a variância é uma medida de dispersão e um abono fixo não muda a dispersão dos dados:
\[
\text{Nova Variância} = \text{Variância Atual}
\]

### Perguntas Relativas

1. Como seria o histograma se a frequência relativa da faixa salarial 6-10 fosse 0,20 em vez de 0,15?
2. Qual seria a nova média se o aumento fosse de 50% para todos os funcionários?
3. Como calcular a variância atual dos salários baseando-se nas frequências e pontos médios?
4. Qual seria a nova mediana (Q2) se todos os funcionários recebessem um abono de três salários mínimos?
5. Se a empresa contratar mais 30 funcionários com um salário na faixa de 2 a 4, como isso afetaria a média e a mediana?
6. Qual o impacto na variância se o aumento salarial fosse diferente para cada faixa salarial?
7. Como podemos calcular o primeiro quartil (Q1) desta distribuição de salários?
8. Se os salários fossem triplicados, qual seria a nova variância?

### Dica

Para calcular a variância, utilize a fórmula \(\sigma^2 = \sum (x_i - \mu)^2 \cdot f_i\), onde \(x_i\) são os pontos médios, \(\mu\) é a média e \(f_i\) são as frequências relativas.

Explore the analysis of salary distribution among 120 administrative employees, including histogram representation, calculation of mean, second and third quartiles, and the impact of salary adjustments on mean and variance.

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